- 数学Ⅱ｜三角関数「sinθ(cosθ)の値と残りの三角関数の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角関数の値
三角関数 06\(\theta\) が第3象限で \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) の値の求め方は？また、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
sinθ(cosθ)の値と残りの三角関数の値
Point：sinθ(cosθ)の値と残りの三角関数の値
① \(\theta\) の象限から、\(\cos\theta\)（または \(\sin\theta\)）と \(\tan\theta\) の正負を調べる。
\(\theta\) が第3象限より、\(\cos\theta \lt 0\) 、\(\tan\theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、\(\cos\theta\)（または \(\sin\theta\)）の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2+\cos^2\theta=1\\[5pt]~~~~\Leftrightarrow ~ &&\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\tan\theta=\sin\theta{\, \small \div \,}\cos\theta\) より、\(\tan\theta\) の値を求める。
\(\tan\theta=\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right){\, \small \div \,}\left(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{15}\,}\)
\(\sin\theta\)（または \(\cos\theta\)）の値から、\(\cos\theta\)（または \(\sin\theta\)）と \(\tan\theta\) の値を求める方法は、
① \(\theta\) の象限から、\(\cos\theta\)（または \(\sin\theta\)）と \(\tan\theta\) の正負を調べる。
\(\theta\) が第3象限より、\(\cos\theta \lt 0\) 、\(\tan\theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、\(\cos\theta\)（または \(\sin\theta\)）の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2+\cos^2\theta=1\\[5pt]~~~~\Leftrightarrow ~ &&\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\tan\theta=\sin\theta{\, \small \div \,}\cos\theta\) より、\(\tan\theta\) の値を求める。
\(\tan\theta=\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right){\, \small \div \,}\left(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{15}\,}\)
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詳しい解説｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角関数の値
三角関数 06
\(\theta\) が第3象限で \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\cos\theta\) と \(\tan\theta\) の値の求め方は？また、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin\theta\) と \(\tan\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\theta\) が第3象限より、
\(\cos\theta \lt 0\) 、\(\tan\theta \gt 0\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
ここに、\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2+\cos^2\theta&=&1\\[3pt]~~~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,16\,}+\cos^2\theta&=&1\\[3pt]~~~\cos^2\theta&=&1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,16\,}\\[3pt]~~~\cos^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,15\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\) \((\,∵~\cos\theta \lt 0 \,)\)
次に、相互関係の公式
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\theta&=&\displaystyle\frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\\[3pt]~~~&=&\sin\theta{\, \small \div \,}\cos\theta\end{eqnarray}\)
これに \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\theta&=&\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}\right){\, \small \div \,}\left(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\right)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,4\,}{\,\sqrt{15}\,}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{15}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,4\,}\) 、\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{15}\,}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)
これに、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2\theta+\left(-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2&=&1\\[3pt]~~~\sin^2\theta+\displaystyle\frac{\,9\,}{\,25\,}&=&1\\[3pt]~~~\sin^2\theta&=&1-\displaystyle\frac{\,9\,}{\,25\,}\\[3pt]~~~\sin^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,16\,}{\,25\,}\\[3pt]~~~\sin\theta&=&\pm\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\theta&=&\displaystyle\frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\\[3pt]~~~&=&\sin\theta{\, \small \div \,}\cos\theta\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\) 、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\theta&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\\[3pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\) 、\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\theta&=&\left(-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\right){\, \small \div \,}\left(-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\) 、\(\tan\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\)
または、
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\) 、\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\)
