- 数学Ⅱ｜三角関数「tanθの値と残りの三角関数の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜tanθの値と残りの三角関数の値
三角関数 07\(\theta\) が第２象限で \(\tan\theta=-3\) のとき、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
tanθの値と残りの三角関数の値
Point：tanθの値と残りの三角関数の値
① \(\theta\) の象限から、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の正負を調べる。
\(\theta\) は第２象限より、\(\cos\theta \lt 0~,~\sin\theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}=1+\tan^2\theta\) より、\(\cos\theta\) の値を求める。
③ 相互関係の公式 \(\sin\theta=\tan\theta \cdot \cos\theta\) より、\(\sin\theta\) の値を求める。
\(\sin\theta=-3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\)
\(\tan\theta\) の値から \(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の値を求める方法は、
① \(\theta\) の象限から、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の正負を調べる。
\(\theta\) は第２象限より、\(\cos\theta \lt 0~,~\sin\theta \gt 0\)
② 相互関係の公式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}=1+\tan^2\theta\) より、\(\cos\theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}=1+(-3)^2
\\[3pt]~~~\Leftrightarrow ~ &&\displaystyle \cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
③ 相互関係の公式 \(\sin\theta=\tan\theta \cdot \cos\theta\) より、\(\sin\theta\) の値を求める。
\(\sin\theta=-3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\)
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詳しい解説｜tanθの値と残りの三角関数の値
三角関数 07
\(\theta\) が第２象限で \(\tan\theta=-3\) のとき、\(\cos\theta\) と \(\sin\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\theta\) は第２象限より、
\(\cos\theta \lt 0~,~\sin\theta \gt 0\)
相互関係の公式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}=1+\tan^2\theta\) より、
\(\tan\theta=-3\) を代入する と、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}&=&1+(-3)^2
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}&=&1+9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}&=&10\end{eqnarray}\)
両辺の逆数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \cos^2\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \cos\theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
次に、相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\theta&=&\tan\theta{\, \small \times \,}\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan\theta=-3~,~\cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\theta&=&-3{\, \small \times \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\right)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \cos\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\sin\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\) となる
