- 数学Ⅱ｜三角関数「相互関係の公式と等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜相互関係の公式と等式の証明
三角関数 08等式 \(\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\) や \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2\theta\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
相互関係の公式と等式の証明
Point：相互関係の公式と等式の証明
① \(\tan\theta\) を左辺に代入。相互関係の公式より、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の式にする。
\(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\)
② 通分などで計算し、相互関係の公式を用いる。
三角関数の相互関係の公式を用いた等式の証明は、
① \(\tan\theta\) を左辺に代入。相互関係の公式より、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の式にする。
\(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\)
② 通分などで計算し、相互関係の公式を用いる。
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta~,~1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\)
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詳しい解説｜相互関係の公式と等式の証明
三角関数 08
等式 \(\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\) や \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2\theta\,}\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) と、
その逆数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\) を用いて、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\hspace{20pt}(\,∵~ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\) [終]
[証明] 左辺を通分して計算すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\sin\theta)+(1+\sin\theta)\,}{\,(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2\theta\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos^2\theta\,}\) [終]
