相互関係の公式と等式の証明

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.131 練習9

\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を展開すると、

---

　　（左辺）

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&2\cdot1
\\[5pt]~&=&2\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\) [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}+\left(1-\displaystyle \frac{\,\sin^4\theta\,}{\,\cos^4\theta\,}\right)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}+\cos^2\theta-\displaystyle \frac{\,\sin^4\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

通分すると、

---

---

相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta=1\) [終]
 
【別解】

[証明] 相互関係の公式 \(1+\tan^2\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\) の両辺の逆数の式 \(\cos^2\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2\theta\,}\) より、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+\displaystyle \frac{\,(1+\tan^2\theta)(1-\tan^2\theta)\,}{\,1+\tan^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta+(1-\tan^2\theta)
\\[5pt]~&=&1\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\tan^2\theta+(1-\tan^4\theta)\cos^2\theta=1\) [終]

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.145 問題 2

\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を変形すると、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\sin^2\theta-\sin^4\theta
\\[5pt]~&=&\sin^2\theta(1-\sin^2\theta)\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) なので、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\sin^2\theta\cdot\cos^2\theta\end{eqnarray}\)

---

右辺を変形すると、

---

　　（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\cos^2\theta-\cos^4\theta
\\[5pt]~&=&\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式より \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) なので、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\cos^2\theta\cdot\sin^2\theta\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\sin^2\theta-\sin^4\theta=\cos^2\theta-\cos^4\theta\) [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~&=&\tan\theta{\, \small \div \,}\sin\theta-\sin\theta{\, \small \div \,}\tan\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\,}-\sin\theta{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}-\cos\theta\end{eqnarray}\)

---

通分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\sin\theta\cdot\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\sin\theta\tan\theta\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,\tan\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\tan\theta\,}=\sin\theta\tan\theta\) [終]

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.121 練習11

[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta-\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}-\sin^2\theta\end{eqnarray}\)

---

通分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta(1-\cos^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\cdot\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta\sin^2\theta\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) [終]

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.151 章末問題A 3
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.146 章末問題A 4

[証明] 左辺を通分して計算すると、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)+(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\) [終]

数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.120 練習12

\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を展開すると、

---

　　（左辺）

---

---

相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&2\cdot1
\\[5pt]~&=&2\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\) [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta-\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}-\sin^2\theta\end{eqnarray}\)

---

通分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta(1-\cos^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\cdot\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta\sin^2\theta\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) [終]

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.121 問13

\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を変形すると、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}-1\right)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}-1\right)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\) [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) と、その逆数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\) を用いて、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

通分すると、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\hspace{20pt}(\,∵~\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,)\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\) [終]

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.11 問

[証明] 左辺を通分して計算すると、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta(1-\cos\theta)+\sin\theta(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta-\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\sin\theta\cos\theta\,}{\,1-\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\,}{\,\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin\theta\,}\) [終]

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.154 練習問題A 3

[証明] 左辺を通分して計算すると、

---

　　（左辺）

---

※ 数式は横にスクロールできます。

---

相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,\cos\theta\cdot\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

分子の \((\sin\theta+\cos\theta)\) を \(\cos\theta\) で割ると、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,\sin\theta+\cos\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+1\right)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\tan\theta)\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,1+\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2(1+\tan\theta)\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.128 問12

[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) を用いて、左辺を通分して計算すると、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\tan\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta+\sin\theta(1+\sin\theta)\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta+\sin\theta+\sin^2\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\sin\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sin\theta\,}{\,\cos\theta(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\tan\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.144 Training 4

[証明] 左辺を通分して計算すると、

---

　　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta(1-\sin\theta)+\cos\theta(1+\sin\theta)\,}{\,(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

　\(\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]