- 数学Ⅱ｜三角関数「sinθ+cosθ=aの両辺の2乗」の基本例題解説ページです。
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問題｜sinθ+cosθ=aの両辺の2乗
三角関数 09\(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、\(\sin\theta\cos\theta\) と \(\sin^3\theta+\cos^3\theta\) の値の求め方は？さらに、\(\theta\) が第2象限の角のとき、\(\cos\theta-\sin\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
sinθ+cosθ=aの両辺の2乗
Point：sinθ+cosθ=aの両辺の2乗
① \(\sin\theta+\cos\theta\) の式の両辺を2乗して、\(\sin\theta\cos\theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~~\Leftrightarrow ~ &&\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
② 3次式などは因数分解の公式の形に代入して式の値を求める。
\(\sin\theta+\cos\theta\) の値と問いに合わせて三角関係から値の求め方は、
① \(\sin\theta+\cos\theta\) の式の両辺を2乗して、\(\sin\theta\cos\theta\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~~\Leftrightarrow ~ &&\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
② 3次式などは因数分解の公式の形に代入して式の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin^3\theta+\cos^3\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜sinθ+cosθ=aの両辺の2乗
三角関数 09
\(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\) のとき、\(\sin\theta\cos\theta\) と \(\sin^3\theta+\cos^3\theta\) の値の求め方は？さらに、\(\theta\) が第2象限の角のとき、\(\cos\theta-\sin\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sin\theta+\cos\theta)^2&=&\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[3pt]~~~\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}
\\[3pt]~~~(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+2\sin\theta\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}
\\[3pt]~~~2\sin\theta\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,9\,}-1
\\[3pt]~~~2\sin\theta\cos\theta&=&-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,9\,}
\\[3pt]~~~\sin\theta\cos\theta&=&-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
また、因数分解の公式
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
これを用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin^3\theta+\cos^3\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)\end{eqnarray}\)
\(\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\)\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1~,~\)
\(\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\left\{1-\left(-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\right)\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle\frac{\,9+4\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,13\,}{\,27\,}\end{eqnarray}\)
次に、\(\theta\) は第2象限の角より、
\(\cos\theta\lt0~,~\sin\theta\gt0\)
よって \(\cos\theta-\sin\theta\lt0\)
\(\cos\theta-\sin\theta\) を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\cos\theta-\sin\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&\cos^2\theta-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-2\sin\theta\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1~,~\)\(\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\cos\theta-\sin\theta)^2&=&1-2\cdot\left(-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~(\cos\theta-\sin\theta)^2&=&1+\displaystyle\frac{\,8\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~(\cos\theta-\sin\theta)^2&=&\displaystyle\frac{\,17\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta-\sin\theta\lt0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\theta-\sin\theta&=&-\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,17\,}{\,9\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,17\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
