- 数学Ⅱ｜三角関数「θ+2nπや-θの三角関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜θ+2nπや-θの三角関数
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
θ+2nπや-θの三角関数
■ \(\theta+2n\pi\)（\(n\) は整数）の三角関数
\(\theta+2n\pi\)（\(n\) は整数）は \(\theta\) と動径が一致するので、
\(\begin{eqnarray}\sin(\theta+2n\pi)&=&\sin \theta
\\[5pt]\cos(\theta+2n\pi)&=&\cos \theta
\\[5pt]\tan(\theta+2n\pi)&=&\tan \theta\end{eqnarray}\)
■ \(-\theta\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(-\theta\) の点は \((x~,~-y)\) となるので、
\(\sin \theta=y~,~\cos \theta=x~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(-\theta)&=&-y=-\sin \theta
\\[5pt]\cos(-\theta)&=&x=\cos \theta
\\[5pt]\tan(-\theta)&=&-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=-\tan \theta\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜θ+2nπや-θの三角関数
\(\sin \displaystyle \frac{\,11\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,21\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,31\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)~,~\)\(\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)~,~\)\(\tan \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)\) を角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) を用いた三角関数で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin \displaystyle \frac{\,11\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\sin \displaystyle \frac{\,1+10\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}+2\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos \displaystyle \frac{\,21\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,1+20\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}+4\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\tan \displaystyle \frac{\,31\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\tan \displaystyle \frac{\,1+30\,}{\,5\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\tan \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}+6\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
単位円上の角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) の点を \((x~,~y)\) とすると、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}=y~,~\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}=x~,~\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
角 \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) の点が \((x~,~-y)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)&=&-y=-\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)&=&x=\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~\tan \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)&=&-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}=-\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
