- 数学Ⅱ｜三角関数「θ+πやθ+π/2の三角関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜θ+πやθ+π/2の三角関数
三角関数 11三角関数 \(\sin\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\sin\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi\) を角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) を用いた三角関数で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
θ+πやθ+π/2の三角関数
Point：θ+πやθ+π/2の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\theta+\pi\) の点は \((-x~,~-y)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(\theta+\pi)&=&-y=-\sin\theta
\\[5pt]\cos(\theta+\pi)&=&-x=-\cos\theta
\\[5pt]\tan(\theta+\pi)&=&\displaystyle\frac{\,-y\,}{\,-x\,}=\tan\theta\end{eqnarray}\)
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の点は \((-y~,~x)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&x=\cos\theta
\\[5pt]\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~&=&-y=-\sin\theta
\\[5pt]\tan\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
■ \(\theta+\pi\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\theta+\pi\) の点は \((-x~,~-y)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(\theta+\pi)&=&-y=-\sin\theta
\\[5pt]\cos(\theta+\pi)&=&-x=-\cos\theta
\\[5pt]\tan(\theta+\pi)&=&\displaystyle\frac{\,-y\,}{\,-x\,}=\tan\theta\end{eqnarray}\)
■ \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の点は \((-y~,~x)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&x=\cos\theta
\\[5pt]\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~&=&-y=-\sin\theta
\\[5pt]\tan\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜θ+πやθ+π/2の三角関数
三角関数 11
三角関数 \(\sin\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\sin\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi\) を角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) を用いた三角関数で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi=\frac{\,1+5\,}{\,5\,}\pi=\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\pi\) より、
単位円上の角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) の点を \((x~,~y)\)とすると、
\(\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=y~,~\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=x~,~\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\)
角 \(\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi\) の点は \((-x~,~-y)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi&=&\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&-y
\\[5pt]~~~&=&-\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi&=&\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&-x
\\[5pt]~~~&=&-\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\displaystyle\frac{\,6\,}{\,5\,}\pi&=&\tan\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,-y\,}{\,-x\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi=\frac{\,2+5\,}{\,10\,}\pi=\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、
角 \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi\) の点は \((-y~,~x)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi&=&\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&x
\\[5pt]~~~&=&\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi&=&\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-y
\\[5pt]~~~&=&-\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}\pi&=&\tan\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,-y\,}=-\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ \(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) の逆数でマイナスが付く。
