- 数学Ⅱ｜三角関数「π-θやπ/2-θの三角関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜π-θやπ/2-θの三角関数
三角関数 12三角関数 \(\sin\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\sin\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi\) を角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) を用いた三角関数で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
π-θやπ/2-θの三角関数
Point：π-θやπ/2-θの三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\pi-\theta\) は点 \((-x~,~y)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(\pi-\theta)&=&y=\sin\theta
\\[5pt]\cos(\pi-\theta)&=&-x=-\cos\theta
\\[5pt]\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle\frac{\,y\,}{\,-x\,}=-\tan\theta
\end{eqnarray}\)
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\) は点 \((y~,~x)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&x=\cos\theta
\\[5pt]\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&y=\sin\theta
\\[5pt]\tan\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\end{eqnarray}\)
■ \(\pi-\theta\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\pi-\theta\) は点 \((-x~,~y)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin(\pi-\theta)&=&y=\sin\theta
\\[5pt]\cos(\pi-\theta)&=&-x=-\cos\theta
\\[5pt]\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle\frac{\,y\,}{\,-x\,}=-\tan\theta
\end{eqnarray}\)
■ \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\) の三角関数
単位円上の角 \(\theta\) の点を \((x~,~y)\) とすると、角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\) は点 \((y~,~x)\) となるので、
\(\sin\theta=y~,~\cos\theta=x~,~\tan\theta=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&x=\cos\theta
\\[5pt]\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&y=\sin\theta
\\[5pt]\tan\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜π-θやπ/2-θの三角関数
三角関数 12
三角関数 \(\sin\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi~,~\)\(\sin\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi\) を角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) を用いた三角関数で表す方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi=\displaystyle\frac{\,5-1\,}{\,5\,}\pi=\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) より、
単位円上の角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) の点を \((x~,~y)\) とすると、
\(\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=y~,~\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=x~,~\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\)
角 \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi\) の点は \((-x~,~y)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi&=&\sin\left(\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&y
\\[5pt]~~~&=&\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi&=&\cos\left(\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-x
\\[5pt]~~~&=&-\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\pi&=&\tan\left(\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,y\,}{\,-x\,}
\\[5pt]~~~&=&-\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi=\displaystyle\frac{\,5-2\,}{\,10\,}\pi=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\) より、
角 \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi\) の点は \((y~,~x)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi&=&\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&x
\\[5pt]~~~&=&\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi&=&\cos\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&y
\\[5pt]~~~&=&\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\displaystyle\frac{\,3\,}{\,10\,}\pi&=&\tan\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)
※ \(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,5\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,x\,}\) の逆数となる。
