三角関数y=Asinθのグラフ

\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin\theta\) について、

\(\sin \theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の \(\sin \theta\) の値と \(y\) の値は、

\(\begin{array}{c|cccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\sin\theta~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{array}\)

これより、グラフを描くと、

また、周期は繰り返しの最小の間隔で、

　\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) までの \(2\pi\)

\(y=2\cos\theta\) について、

\(\cos \theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の \(\cos \theta\) の値と \(y\) の値は、

\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\cos\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 2 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0
\end{array}\)

これより、グラフを描くと、

また、周期は繰り返しの最小の間隔で、

　\(y=2\) となる \(0\) から \(2\pi\) までの \(2\pi\)

\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos\theta\) について、

\(\cos \theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の \(\cos \theta\) の値と \(y\) の値は、

\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\cos\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0
\end{array}\)

これより、グラフを描くと、

また、周期は繰り返しの最小の間隔で、

　\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(0\) から \(2\pi\) までの \(2\pi\)

\(y=2\tan\theta\) について、

\(\tan \theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta\) の値や \(\tan \theta\) の値をとらない \(\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) の \(\tan \theta\) の値と \(y\) の値は、

\(\begin{array}{c|ccccccccc}~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]\hline ~\tan\theta~ & \times & -1 & 0 & 1 & \times & -1 & 0 & 1 & \times \\[3pt]\hline ~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & \times & -2 & 0 & 2 & \times & -2 & 0 & 2 & \times\end{array}\)

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) が漸近線となり、この直線に限りなく近づくように曲線を描くと、

また、周期は繰り返しの最小の間隔で、

　\(y=2\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) までの \(\pi\)

\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\tan\theta\) について、

\(\tan \theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta\) の値や \(\tan \theta\) の値をとらない \(\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) の \(\tan \theta\) の値と \(y\) の値は、

\(\begin{array}{c|ccccccccc}~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]\hline ~\tan\theta~ & \times & -1 & 0 & 1 & \times & -1 & 0 & 1 & \times \\[3pt]\hline ~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & \times & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \times & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & \times\end{array}\)

\(\theta=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) が漸近線となり、この直線に限りなく近づくように曲線を描くと、

また、周期は繰り返しの最小の間隔で、

　\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) までの \(\pi\)

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