- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数y=sin(θ-p)のグラフ」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数y=sin(θ-p)のグラフ
三角関数 16関数 \(y=\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数y=sin(θ-p)のグラフ
Point：三角関数y=sin(θ-p)のグラフ
① \(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
② \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) することで、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係を表にまとめる。
③ 座標平面上に点をとり、曲線で結ぶ。
※ \(y=\cos\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
④ 周期は繰り返しの最小の間隔で、最も小さい正の \(\theta\) の値で表す。
グラフより、\(y=\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) の周期は \(2\pi\)
関数 \(y=\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフは、
① \(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
② \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) することで、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係を表にまとめる。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,17\,}{\,6\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,17\,}{\,6\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
③ 座標平面上に点をとり、曲線で結ぶ。
※ \(y=\cos\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
④ 周期は繰り返しの最小の間隔で、最も小さい正の \(\theta\) の値で表す。
グラフより、\(y=\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) の周期は \(2\pi\)
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詳しい解説｜三角関数y=sin(θ-p)のグラフ
三角関数 16
関数 \(y=\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(y=\cos\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,17\,}{\,6\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,17\,}{\,6\,}\pi \\[3pt]
\hline
~y~\vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}} & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\) までの \(2\pi\)
※ \(y=\cos\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
