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問題｜三角関数y=sinaθのグラフ
三角関数 17関数 \(y=\sin 2\theta\) と \(y=\cos \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) のグラフの描き方は？また、それぞれの周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数y=sinaθのグラフ
Point：三角関数y=sinaθのグラフ
① \(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
② \({\, \small \div \,}2\) することで、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係を表にまとめる。
③ 座標平面上に点をとり、曲線で結ぶ。
④ 周期は繰り返しの最小の間隔で、最も小さい正の \(\theta\) の値で表す。
グラフより、\(y=\sin 2\theta\) の周期は \(\pi\)
関数 \(y=\sin 2\theta\) のグラフは、
① \(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
② \({\, \small \div \,}2\) することで、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係を表にまとめる。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
③ 座標平面上に点をとり、曲線で結ぶ。
④ 周期は繰り返しの最小の間隔で、最も小さい正の \(\theta\) の値で表す。
グラフより、\(y=\sin 2\theta\) の周期は \(\pi\)
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詳しい解説｜三角関数y=sinaθのグラフ
三角関数 17
関数 \(y=\sin 2\theta\) と \(y=\cos \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) のグラフの描き方は？また、それぞれの周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(y=\sin 2\theta\) について、
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) までの \(\pi\)
\(y=\cos \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) について、
\(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(0\) から \(4\pi\) までの \(4\pi\)
