- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
三角関数 18関数 \(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
Point：三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
① 角の部分を \(\theta\) の係数でくくり出す。
\(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\)
② \(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
③ \({\, \small \div \,}2\) して \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) することで、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係を表にまとめる。
④ 座標平面上に点をとり、曲線で結ぶ。
※ \(y=\sin 2\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ平行移動したグラフとなる。
⑤ 周期は繰り返しの最小の間隔で、最も小さい正の \(\theta\) の値で表す。
グラフより、周期は \(\pi\)
関数 \(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフは、
① 角の部分を \(\theta\) の係数でくくり出す。
\(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\)
② \(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
③ \({\, \small \div \,}2\) して \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) することで、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係を表にまとめる。
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
④ 座標平面上に点をとり、曲線で結ぶ。
※ \(y=\sin 2\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ平行移動したグラフとなる。
⑤ 周期は繰り返しの最小の間隔で、最も小さい正の \(\theta\) の値で表す。
グラフより、周期は \(\pi\)
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詳しい解説｜三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ
三角関数 18
関数 \(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(y=\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(2\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,2\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi\) の \(\pi\)
※ \(y=\sin2\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
