このページは、「三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
三角関数y=sin(aθ+b)のグラフ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.140 練習18(1)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.127 練習15(1)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.132 補充問題 1(2)
\(y=\sin 2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~2\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\) の \(\pi\)
※ \(y=\sin2\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(y=\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.140 練習18(2)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.127 練習15(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.146 章末問題A 2(2)
\(y=\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi\) の \(4\pi\)
※ \(y=\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(y=\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.146 章末問題A 2(1)
\(y=\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(2\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,2\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin 2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,17\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,17\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi\) から \(\displaystyle\frac{\,17\,}{\,12\,}\pi\) の \(\pi\)
※ \(y=\sin2\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04関数 \(y=\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.129 問22(1)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.156 Level Up (2)
\(y=\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(2\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin\left(2\theta-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin 2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~2\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,19\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
~\theta~ & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi & \displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi & \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle\frac{\,19\,}{\,12\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\) から \(\displaystyle\frac{\,19\,}{\,12\,}\pi\) の \(\pi\)
※ \(y=\sin2\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05関数 \(y=\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) のグラフの描き方は？また、周期の求め方は？
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.129 問22(2)
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.156 Level Up (3)
\(y=\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(y\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi & \displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi\) の \(4\pi\)
※ \(y=\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\theta\) のグラフを \(\theta\) 方向に \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ平行移動したグラフとなる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06図は関数 \(y=r\sin(a\theta-b)\) のグラフの一部である。定数 \(r~,~a~,~b\) の値を求めよ。ただし、何通りもある場合は、その正の最小値を答えよ。
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.154 練習問題A 8
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.156 Level Up 4
グラフの最大値が \(2\) 、最小値が \(-2\) より、
\(r=2\)
グラフより、\(y=-2\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) までの間隔が周期なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,2\pi\,}{\,a\,}&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2\pi\,}{\,a\,}&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(a=3\)
また、グラフは \(y=2\cos3\theta\) のグラフを \(\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 平行移動しているので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2\cos3\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&2\cos\left(3\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
したがって、\(r=2~,~a=3~,~b=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) となる
