このページは、「三角関数y=-sinθやy=sinθ+qのグラフ」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
三角関数y=-sinθやy=sinθ+qのグラフ で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01関数 \(y=\sin\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}+1\) のグラフの描き方と周期の求め方は？
\(y=\sin \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}+1\) について、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(\sin \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) の値と \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\sin \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\sin \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=2\) となる \(\pi\) から \(5\pi\) までの \(4\pi\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02関数 \(y=\sin 3\theta+1\) のグラフの描き方と周期の求め方は？
\(y=\sin 3\theta+1\) について、
\(\sin 3\theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(3\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(3\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(\sin 3\theta\) の値と \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~3\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\sin 3\theta~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~3\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\sin 3\theta~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=2\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) までの \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03関数 \(y=\cos 3\theta+1\) のグラフの描き方と周期の求め方は？
\(y=\cos 3\theta+1\) について、
\(\cos 3\theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(3\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(3\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(\cos 3\theta\) の値と \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~3\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\cos 3\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~3\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\cos 3\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=2\) となる \(0\) から \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) までの \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04関数 \(y=-\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) のグラフの描き方と周期の求め方は？
\(y=-\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) について、\(\theta\) の係数 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出すと、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\cos\left(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)\end{eqnarray}\)
\(\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの \(\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)\) の値と \(y\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\[3pt]
\hline
y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\)
~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)~ & -\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \\[3pt]
\hline
~\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\theta+\pi\right)~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\[3pt]
\hline
y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\)
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~2\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \times \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta+\pi~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\)
~\theta+\pi~ & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi & 5\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0
\end{array}\)
さらに、各値をそれぞれ \(-\pi\) すると \(\theta\) と \(y\) の値の関係は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -2\pi & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
~\theta~ & -2\pi & -\pi & 0 & \pi & 2\pi & 3\pi & 4\pi \\[3pt]
\hline
y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\)
これより、グラフを描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(-\pi\) から \(3\pi\) の \(4\pi\)
※ \(y=\cos\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\theta\) のグラフを \(\theta\) 軸に関して対称移動させて、\(\theta\) 方向に \(-\pi\) だけ平行移動したグラフとなる
