このページは、「三角関数を含む方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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三角関数を含む方程式 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲での \(\sin\theta=1~,~\)\(\cos\theta=1~,~\)\(\sin\theta=-1~,~\)\(\cos\theta=0\) の解の求め方は？
\(\sin\theta=1\) は、
単位円上の \(y=1\) となる点より、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=1\) は、
単位円上の \(x=1\) となる点より、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&0\end{eqnarray}\)
\(\sin\theta=-1\) は、
単位円上の \(y=-1\) となる点より、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=0\) は、
単位円上の \(x=0\) となる点より、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02方程式 \(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\) の一般解と \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲の \(\theta\) での解の求め方は？
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(1\) 個分と \(5\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(1\) 個分と \(11\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\tan\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \(\left(1~,~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\right)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(1\) 個分と \(7\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03方程式 \(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan\theta=1\) の一般解と \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲の \(\theta\) での解の求め方は？
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) は、
単位円上の \(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(3\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(x=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(1\) 個分と \(11\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\tan\theta=1\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(5\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04方程式 \(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan\theta=\sqrt{3}\) の一般解と \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲の \(\theta\) での解の求め方は？
\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(y=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(2\) 個分と \(4\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(x=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(4\) 個分と \(8\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\tan\theta=\sqrt{3}\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~\sqrt{3})\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(2\) 個分と \(8\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05方程式 \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\) の一般解と \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲の \(\theta\) での解の求め方は？
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) は、
単位円上の \(y=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(5\) 個分と \(7\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(x=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(5\) 個分と \(7\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\tan\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \(\left(1~,~-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\right)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(5\) 個分と \(11\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06方程式 \(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\tan\theta=-1\) の一般解と \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲の \(\theta\) での解の求め方は？
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) は、
単位円上の \(y=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) となる点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(8\) 個分と \(10\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) は、
単位円上の \(x=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(3\) 個分と \(5\) 個分であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\tan\theta=-1\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~-1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(3\) 個分と \(7\) 個分であり、周期が \(\pi\) であるので、
\(n\) を整数として、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+n\pi\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲では、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
