- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数を含む不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数を含む不等式
三角関数 21\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、不等式 \(\sin\theta\lt -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\theta{\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\tan\theta{\small ~≧~}1~,~\)\(\tan\theta\lt\sqrt{3}\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数を含む不等式
Point：三角関数sinを含む不等式
① \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、方程式 \(\sin\theta=a\) の解を求める。
\(y=a\) と単位円との交点を結ぶ動径より、
\(\theta=\alpha~,~\beta\)
② 図より、不等式の範囲の動径を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(\alpha{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\beta\)
■ 不等式 \(\sin\theta{\small ~≧~}a\) の解
① \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、方程式 \(\sin\theta=a\) の解を求める。
\(y=a\) と単位円との交点を結ぶ動径より、
\(\theta=\alpha~,~\beta\)
② 図より、不等式の範囲の動径を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(\alpha{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\beta\)
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Point：三角関数cosを含む不等式
① \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、方程式 \(\cos\theta=b\) の解を求める。
\(x=b\) と単位円との交点を結ぶ動径より、
\(\theta=\alpha~,~\beta\)
② 図より、不等式の範囲の動径を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(0{\small ~≦~}\theta\lt\alpha~,~\)\(\beta{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
■ 不等式 \(\cos\theta{\small ~≧~}b\) の解
① \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、方程式 \(\cos\theta=b\) の解を求める。
\(x=b\) と単位円との交点を結ぶ動径より、
\(\theta=\alpha~,~\beta\)
② 図より、不等式の範囲の動径を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(0{\small ~≦~}\theta\lt\alpha~,~\)\(\beta{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
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Point：三角関数tanを含む不等式
① \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、方程式 \(\tan\theta=c\) の解を求める。
\(x=1\) 上の点 \((1~,~c)\) と原点を結ぶ直線を動径した角より、
\(\theta=\alpha~,~\beta\)
② 図より、不等式の範囲の動径を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(\alpha{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\beta{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
※ \(\tan\theta{\small ~≦~}c\) の場合は、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\alpha~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\beta~,~\)
\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
■ 不等式 \(\tan\theta{\small ~≧~}c\) の解
① \(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、方程式 \(\tan\theta=c\) の解を求める。
\(x=1\) 上の点 \((1~,~c)\) と原点を結ぶ直線を動径した角より、
\(\theta=\alpha~,~\beta\)
② 図より、不等式の範囲の動径を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(\alpha{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\beta{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
※ \(\tan\theta{\small ~≦~}c\) の場合は、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
図より、\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\alpha~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\beta~,~\)
\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
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詳しい解説｜三角関数を含む不等式
三角関数 21
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、不等式 \(\sin\theta\lt -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\theta{\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\tan\theta{\small ~≧~}1~,~\)\(\tan\theta\lt\sqrt{3}\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(\theta\) の値は、
単位円上の \(y=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる点が、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(7\) 個分と \(11\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\sin\theta\lt -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) は、
\(y=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) より小さい範囲の動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる \(\theta\) の値は、
単位円上の \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) となる点が、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(7\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos\theta{\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) は、
\(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) 以上の範囲の動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\end{eqnarray}\)
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(\tan\theta=1\) となる \(\theta\) の値は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点が、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(5\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\tan\theta{\small ~≧~}1\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~1)\) 以上の範囲であり、そのときの動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
※ \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) では \(\tan\theta\) の値はないので、含まない。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、\(\tan\theta=\sqrt{3}\) となる \(\theta\) の値は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~\sqrt{3})\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点が、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(2\) 個分と \(8\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\tan\theta\lt\sqrt{3}\) は、
直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~\sqrt{3})\) より小さい範囲であり、そのときの動径が不等式の解となり、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\end{eqnarray}\)
※ \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) では \(\tan\theta\) の値はないので、含まない。
