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問題｜角が複雑な三角関数を含む方程式
三角関数 22\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、\(\sin 2\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}=-\sqrt{3}~,~\)\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
角が複雑な三角関数を含む方程式
Point：角が複雑な三角関数を含む方程式
\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
① 角 \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
② ①の範囲で、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解を求める。
\(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) と単位円の交点より、
\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\)
③ \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解から \(\theta\) の解を求める。
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
角の範囲が複雑な三角関数を含む方程式と不等式の解法は、
\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
① 角 \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
② ①の範囲で、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解を求める。
\(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) と単位円の交点より、
\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\)
③ \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解から \(\theta\) の解を求める。
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
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詳しい解説｜角が複雑な三角関数を含む方程式
三角関数 22
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、\(\sin 2\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}=-\sqrt{3}~,~\)\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\sin 2\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) について、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、\(2\theta\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0{\small ~≦~}2\theta\lt 4\pi\end{eqnarray}\)
この範囲で、単位円と \(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) の交点は、
\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分、\(3\) 個分、\(9\) 個分、\(11\) 個分であるので、
範囲が \(0{\small ~≦~}2\theta\lt 4\pi\) で単位円上を2周するので、4つの解がある。
\(\begin{eqnarray}~~~2\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
それぞれの値の両辺を \(2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~2\theta{\, \small \div \,}2&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\, \small \div \,}2~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi{\, \small \div \,}2~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi{\, \small \div \,}2~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,4\,}\pi{\, \small \div \,}2
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\)
\(\tan\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}=-\sqrt{3}\) について、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、\(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\lt\pi\end{eqnarray}\)
この範囲で、直線 \(x=1\) 上の点 \((1~,~-\sqrt{3})\) と原点を結ぶ直線と単位円との交点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(4\) 個分であるので、
範囲が \(0{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\lt \pi\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,10\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) は含まれずに解は1つである。
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 倍すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}{\,\small \times \,}2&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\,\small \times \,}2
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) について、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
この範囲で、単位円と \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の交点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(11\) 個分と \(13\) 個分であるので、
範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) は \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より小さいので含まれずに \(\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) は含まれる。
\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
よって、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11-2\,}{\,6\,}\pi
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,9\,}{\,6\,}\pi=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
また、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,13-2\,}{\,6\,}\pi
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
