- 数学Ⅱ｜三角関数「角が複雑な三角関数を含む不等式」の基本例題解説ページです。
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問題｜角が複雑な三角関数を含む不等式
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
角が複雑な三角関数を含む不等式
角の範囲が複雑な三角関数を含む不等式は、
\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right) {\small ~≧~} \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
① 角 \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲を出す。
\(0 {\small ~≦~} \theta \lt 2\pi\) より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} {\small ~≦~} \theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
② ①の範囲で方程式 \(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の値を求める。
\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) と単位円の交点の動径より、
\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\)
③ ①の範囲での \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi \\[5pt] \displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
④ 各辺から \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) を引いて、\(\theta\) の範囲を求める。
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,23\,}{\,12\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)
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詳しい解説｜角が複雑な三角関数を含む不等式
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、不等式 \(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
この範囲で、\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解を求めると、
単位円と \(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の交点は、
\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(5\) 個分と \(13\) 個分であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以上の範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解となるので、
\(\small [\,1\,]~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) 以下
\(\small [\,2\,]~\) 2周目の \(\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi\) 以上 \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 未満
が範囲となり、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,23\,}{\,12\,}\pi&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,23\,}{\,12\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)
