角が複雑な三角関数を含む不等式

このページは、「角が複雑な三角関数を含む不等式」の練習問題アーカイブページとなります。

この問題の解き方の詳細は↓
角が複雑な三角関数を含む不等式 で確認できます。

問題アーカイブ01
問題アーカイブ02
問題アーカイブ03
問題アーカイブ04
問題アーカイブ05
問題アーカイブ06

問題アーカイブ01

問題アーカイブ01\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式を解け。
　\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right){\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.143 問5

\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解を求めると、

単位円と \(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) の交点は、

\(1:1:\sqrt{2}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) が \(1\) 個分と \(3\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) は \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より小さいので含まれずに、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) と \(\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi\) は含まれる。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\) 以上の範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解となるので、

\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) は範囲外であるので含まない。

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) 以下

　\({\small [\,2\,]}~\) 2周目の \(\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi\) 以上 \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,23\,}{\,12\,}\pi&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,23\,}{\,12\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)

問題アーカイブ02

問題アーカイブ02\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式を解け。

\({\small (1)}~\)\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right){\small ~≧~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)

\({\small (2)}~\)\(\sin\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right) \lt \displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

\({\small (3)}~\)\(\tan\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right) \gt \sqrt{3}\)

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.143 練習24

\({\small (1)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の解を求めると、

単位円と \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が \(1\) 個分と \(5\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) と \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) は含まれる。2周目の \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\) は \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より大きいので含まれない。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以上の範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の解となるので、

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 以下

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) 以上、\(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)

\({\small (2)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\sin\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の \(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解を求めると、

単位円と \(y=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が \(1\) 個分と \(2\) 個分であるので、

範囲が \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) と \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) は含まれる。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(y=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) より小さい範囲の動径が \(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解となるので、

　\({\small [\,1\,]}~\) \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 未満

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) より大きく \(2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \lt \theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
<hr size="10" color="#ffffff">
それぞれの各辺を \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) すると、
<hr size="10" color="#ffffff">
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta \lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&\lt&\theta \lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi&\lt&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi \lt \theta \lt 2\pi\)

\({\small (3)}~\)\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\tan\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=\sqrt{3}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解を求めると、

単位円と \(\tan=\sqrt{3}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が \(1\) 個分と \(4\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) と \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) は含まれる。2周目の \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\) は \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より大きいので含まれない。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(\tan=\sqrt{3}\) より大きい範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解となるので、

\(\tan\) は漸近線 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) と \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で区切って考える。

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より大きく \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) 未満

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) より大きく \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt \theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi \lt \theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
<hr size="10" color="#ffffff">
それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) すると、
<hr size="10" color="#ffffff">
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&\lt&\theta \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,}&\lt&\theta \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&\lt&\theta \lt \displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi&\lt&\theta \lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,12\,} \lt \theta \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,12\,}\pi \lt \theta \lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)

問題アーカイブ03

問題アーカイブ03\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式を解け。
　\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right) \gt -\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

数研出版｜数学Ⅱ[709] p.145 問題 4(5)

\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解を求めると、

単位円と \(x=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(5\) 個分と \(7\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) と \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) は含まれる。2周目の \(\displaystyle\frac{\,17\,}{\,6\,}\pi\) は \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より大きいので含まれない。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(x=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) より大きい範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の解となるので、

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) 未満

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) より大きく \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \lt \theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
<hr size="10" color="#ffffff">
それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) すると、
<hr size="10" color="#ffffff">
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta \lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&\lt&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi&\lt&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,12\,}\pi \lt \theta \lt 2\pi\)

問題アーカイブ04

問題アーカイブ04\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式を解け。
　\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right) \gt -\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.135 問題 3(6)

\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解を求めると、

単位円と \(x=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) が \(5\) 個分と \(7\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) と \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) は含まれる。2周目の \(\displaystyle\frac{\,17\,}{\,6\,}\pi\) は \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より大きいので含まれない。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(x=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) より大きい範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の解となるので、

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) 未満

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) より大きく \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \lt \theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
<hr size="10" color="#ffffff">
それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) すると、
<hr size="10" color="#ffffff">
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&\lt&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi&\lt&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta \lt \displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi \lt \theta \lt 2\pi\)

問題アーカイブ05

問題アーカイブ05\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式を満たす \(\theta\) の値の範囲を求めよ。
　\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right){\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.132 問27

\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の解を求めると、

単位円と \(y=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が \(1\) 個分と \(2\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) と \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) は含まれる。2周目の \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,3\,}\pi\) は \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より大きいので含まれない。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(y=\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) 以下の範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の解となるので、

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 以下

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) 以上、\(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)

問題アーカイブ06

問題アーカイブ06\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) のとき、次の不等式を満たす \(\theta\) の値の範囲を求めよ。
　\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right){\small ~≧~}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)

東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.156 Level Up 5(2)

\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、\(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲は、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)

この範囲で、\(\cos\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の解を求めると、

単位円と \(x=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) の交点は、

\(1:2:\sqrt{3}\) の直角三角形の基本角 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) が \(2\) 個分と \(4\) 個分であるので、

範囲が \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) であるので、\(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) と \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) は含まれる。2周目の \(\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\pi\) は \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より大きいので含まれない。

\(\begin{eqnarray}~~~\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)

\(x=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) 以上の範囲の動径が \(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の解となるので、

　\({\small [\,1\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 以上、\(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) 以下

　\({\small [\,2\,]}~\) \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) 以上、\(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 未満

が範囲となり、

\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt] \displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

それぞれの各辺を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi&{\small ~≦~}&\theta \lt 2\pi\end{eqnarray}\)

したがって、

　\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\)