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問題｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
三角関数 24\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\cos\theta\) の最大値・最小値とそのときの \(\theta\) の値の求め方は？また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\cos^2\theta+\sin\theta\) の最大値・最小値とそのときの \(\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数を含む関数の最大値・最小値
Point：三角関数を含む関数の最大値・最小値
■ \(y=\sin\theta\) や \(y=\cos\theta\) の場合
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、
\(-1{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}1\)、\(-1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~}1\) より、
最大値 \(1\)、最小値 \(-1\) となる。
\(y=\cos^2\theta+\sin\theta\)
① 相互関係の公式より、1種類の三角関数の式にする。
\(y=(1-\sin^2\theta)+\sin\theta\)
② \(\sin\theta=t\) (\(\cos\theta=t\)) とおき、\(t\) の値の範囲を求める。
\(-1{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}1\) より、\(-1{\small ~≦~}t{\small ~≦~}1\)
③ \(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成して最大値・最小値とそのときの \(t\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-t^2+t+1
\\[3pt]~~~&=&-\left(t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(t=-1\) のとき最小値 \(-1\)
④ \(t\) の値から最大値・最小値をとるときの \(\theta\) の値を求める。
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(\sin\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
よって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(t=-1\) のとき \(\sin\theta=-1\)
よって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(-1\)
三角関数を含む関数の最大値・最小値は、
■ \(y=\sin\theta\) や \(y=\cos\theta\) の場合
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、
\(-1{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}1\)、\(-1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~}1\) より、
最大値 \(1\)、最小値 \(-1\) となる。
■ 三角関数の2次式の場合
\(y=\cos^2\theta+\sin\theta\)
① 相互関係の公式より、1種類の三角関数の式にする。
\(y=(1-\sin^2\theta)+\sin\theta\)
② \(\sin\theta=t\) (\(\cos\theta=t\)) とおき、\(t\) の値の範囲を求める。
\(-1{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}1\) より、\(-1{\small ~≦~}t{\small ~≦~}1\)
③ \(y\) を \(t\) の関数で表し、平方完成して最大値・最小値とそのときの \(t\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-t^2+t+1
\\[3pt]~~~&=&-\left(t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(t=-1\) のとき最小値 \(-1\)
④ \(t\) の値から最大値・最小値をとるときの \(\theta\) の値を求める。
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき \(\sin\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
よって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(t=-1\) のとき \(\sin\theta=-1\)
よって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(-1\)
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詳しい解説｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
三角関数 24
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\cos\theta\) の最大値・最小値とそのときの \(\theta\) の値の求め方は？また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\cos^2\theta+\sin\theta\) の最大値・最小値とそのときの \(\theta\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(y=\cos\theta\) について、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) の範囲で、
\(-1{\small ~≦~}\cos\theta{\small ~≦~}1\)
よって、\(-1{\small ~≦~}y{\small ~≦~}1\)
\(\cos\theta=1\) のとき、\(\theta=0\)
\(\cos\theta=-1\) のとき、\(\theta=\pi\)
したがって、
\(\theta=0\) のとき最大値 \(1\)
\(\theta=\pi\) のとき最小値 \(-1\)
\(y=\cos^2\theta+\sin\theta\) について、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\cos^2\theta+\sin\theta
\\[3pt]~~~&=&1-\sin^2\theta+\sin\theta
\\[3pt]~~~&=&-\sin^2\theta+\sin\theta+1\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sin\theta=t\) とおくと、
\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、
\(-1{\small ~≦~}\sin\theta{\small ~≦~}1\)
よって、\(-1{\small ~≦~}t{\small ~≦~}1\)
また、\(y\) を \(t\) で表し平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-t^2+t+1
\\[5pt]~~~&=&-(t^2-t)+1
\\[5pt]~~~&=&-\left\{\left(t^2-t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right\}+1
\\[5pt]~~~&=&-\left(t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+1
\\[5pt]~~~&=&-\left(t-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
グラフより、
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(t=-1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-(-1)^2+(-1)+1
\\[3pt]~~~&=&-1-1+1
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
よって、最小値 \(-1\)
ここで、\(t=\sin\theta\) より、
\(t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、すなわち \(\sin\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\)
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(t=-1\) のとき、すなわち \(\sin\theta=-1\) のとき、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\)
単位円上の \(y=-1\) との交点より、
動径は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) である。
動径は \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) である。
したがって、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(-1\)
