- 数学Ⅱ｜三角関数「正弦sinと余弦cosの加法定理」の基本例題解説ページです。
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問題｜正弦sinと余弦cosの加法定理
三角関数 26加法定理を用いた \(\sin 75^\circ~,~\)\(\cos 15^\circ~,~\)\(\sin 105^\circ~,~\)\(\cos 165^\circ~,~\)\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi~,~\)\(\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
正弦sinと余弦cosの加法定理
Point：正弦sinと余弦cosの加法定理
① 角を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}(30^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(45^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(60^\circ)\) の和と差の組合せで表す。
\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\)
\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\)
※ 弧度法の角は一度度数法に直すとわかりやすい。
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=75^\circ=45^\circ+30^\circ\) より、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
② 正弦・余弦の加法定理を用いる。
\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)
※ \(\alpha-\beta\) は、真ん中の符号が逆になる。
\(\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\)
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~(30^\circ)\) や \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}~(45^\circ)\) の倍数以外の角の正弦・余弦の値は、
① 角を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}(30^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(45^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(60^\circ)\) の和と差の組合せで表す。
\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\)
\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\)
※ 弧度法の角は一度度数法に直すとわかりやすい。
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=75^\circ=45^\circ+30^\circ\) より、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
② 正弦・余弦の加法定理を用いる。
\(\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)
サインは「シンコス プラ コスシン」
コサインは「コスコス マイ シンシン」
※ \(\alpha-\beta\) は、真ん中の符号が逆になる。
\(\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\)
\(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\)
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詳しい解説｜正弦sinと余弦cosの加法定理
三角関数 26
加法定理を用いた \(\sin 75^\circ~,~\)\(\cos 15^\circ~,~\)\(\sin 105^\circ~,~\)\(\cos 165^\circ~,~\)\(\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi~,~\)\(\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\sin 75^\circ\) は \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 75^\circ&=&\sin (45^\circ+30^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\sin 45^\circ \cos 30^\circ+\cos 45^\circ \sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,3\,}+1)\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sin 45^\circ \cos 30^\circ+\cos 45^\circ \sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{\,3\,}+1)\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos 15^\circ\) は \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 15^\circ&=&\cos (45^\circ-30^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\cos 45^\circ \cos 30^\circ+\sin 45^\circ \sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos 45^\circ \cos 30^\circ+\sin 45^\circ \sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin 105^\circ\) は \(105^\circ=60^\circ+45^\circ\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 105^\circ&=&\sin (60^\circ+45^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\sin 60^\circ \cos 45^\circ+\cos 60^\circ \sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sin 60^\circ \cos 45^\circ+\cos 60^\circ \sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos 165^\circ\) は \(165^\circ=120^\circ+45^\circ\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 165^\circ&=&\cos (120^\circ+45^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\cos 120^\circ \cos 45^\circ-\sin 120^\circ \sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos 120^\circ \cos 45^\circ-\sin 120^\circ \sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,180^\circ\,}{\,\pi\,}=15^\circ\) より、\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) と表されるので、
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) と分けられる
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}&=&\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,180^\circ\,}{\,\pi\,}=75^\circ\) より、\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) と表されるので、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) と分けられる
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi&=&\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}-1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,180^\circ\,}{\,\pi\,}=105^\circ\) より、\(105^\circ=60^\circ+45^\circ\) と表されるので、
\(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) と分けられる
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi&=&\sin \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}+1\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,180^\circ\,}{\,\pi\,}=165^\circ\) より、\(165^\circ=120^\circ+45^\circ\) と表されるので、
\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) と分けられる
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi&=&\cos \left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\sin \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right) \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
