- 数学Ⅱ｜三角関数「正接tanの加法定理」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜正接tanの加法定理
三角関数 28加法定理を用いた \(\tan 75^\circ~,~\)\(\tan 105^\circ~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
正接tanの加法定理
Point：正接tanの加法定理
① 角を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}(30^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(45^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(60^\circ)\) の和と差の組合せで表す。
\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\)
\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\)
※ 弧度法の角は一度度数法に直すとわかりやすい。
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=75^\circ=45^\circ+30^\circ\) より、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
② 正接の加法定理を用いる。
\(\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle \frac{\,\tan \alpha+\tan \beta\,}{\,1-\tan \alpha \, \tan \beta\,}\)
※ \(\alpha-\beta\) は、符号が逆になる。
\(\tan(\alpha-\beta)=\displaystyle \frac{\,\tan \alpha-\tan \beta\,}{\,1+\tan \alpha \, \tan \beta\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}(30^\circ)\) と \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(45^\circ)\) の倍数以外の角の正接の値は、
① 角を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}(30^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}(45^\circ)~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}(60^\circ)\) の和と差の組合せで表す。
\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\)
\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\)
※ 弧度法の角は一度度数法に直すとわかりやすい。
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=75^\circ=45^\circ+30^\circ\) より、
\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
② 正接の加法定理を用いる。
\(\tan(\alpha+\beta)=\displaystyle \frac{\,\tan \alpha+\tan \beta\,}{\,1-\tan \alpha \, \tan \beta\,}\)
「イチ マイ タンタン タン プラ タン」
※ \(\alpha-\beta\) は、符号が逆になる。
\(\tan(\alpha-\beta)=\displaystyle \frac{\,\tan \alpha-\tan \beta\,}{\,1+\tan \alpha \, \tan \beta\,}\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜正接tanの加法定理
三角関数 28
加法定理を用いた \(\tan 75^\circ~,~\)\(\tan 105^\circ~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\tan 75^\circ\) は \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 75^\circ&=&\tan(45^\circ+30^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan 45^\circ+\tan 30^\circ\,}{\,1-\tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\,}{\,1-1 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\right){\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\right){\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,\sqrt{3}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+2\sqrt{3}+1\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+2\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2+\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\(\tan 105^\circ\) は \(105^\circ=60^\circ+45^\circ\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 105^\circ&=&\tan(60^\circ+45^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan 60^\circ+\tan 45^\circ\,}{\,1-\tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,1-\sqrt{3} \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,1-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,1-\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\sqrt{3}+1)^2\,}{\,1-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+2\sqrt{3}+1\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+2\sqrt{3}\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&-(2+\sqrt{3})
\\[5pt]~~~&=&-2-\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,180^\circ\,}{\,\pi\,}=15^\circ\) より、\(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) と表されるので、
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) と分けられる
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}&=&\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}-\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\,}{\,1+\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \cdot \tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\,}{\,1+1 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\right){\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\right){\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,\sqrt{3}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,\sqrt{3}+1\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,\sqrt{3}-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-2\sqrt{3}+1\,}{\,3-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4-2\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2-\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,180^\circ\,}{\,\pi\,}=165^\circ\) より、\(165^\circ=120^\circ+45^\circ\) と表されるので、
\(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) と分けられる
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \displaystyle \frac{\,11\,}{\,12\,}\pi&=&\tan\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,1-\tan \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \cdot \tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\sqrt{3}+1\,}{\,1-(-\sqrt{3}) \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{3}\,}{\,1+\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{3}\,}{\,1-\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\sqrt{3})^2\,}{\,1-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}+3\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4-2\sqrt{3}\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&-(2-\sqrt{3})
\\[5pt]~~~&=&-2+\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
