加法定理を用いたtan(α+β)の値

\(0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~0 \lt \beta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)より、

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\(\begin{eqnarray}~~~0+0 &\lt& \alpha+\beta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~0 &\lt& \alpha+\beta \lt \pi\end{eqnarray}\)

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加法定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\alpha+\beta)&=&\displaystyle \frac{\,\tan \alpha+\tan \beta\,}{\,1-\tan \alpha \, \tan \beta\,}\end{eqnarray}\)

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\(\tan \alpha=3~,~\tan \beta=2\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+2\,}{\,1-3 \cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,1-6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,-5\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

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\(\tan(\alpha+\beta)=-1~,~0 \lt \alpha+\beta \lt \pi\)より、

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したがって、\(\alpha+\beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) となる

 
 

次に、\(\tan(\alpha+\beta+\gamma)\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\tan(\alpha+\beta+\gamma)
\\[5pt]~~~&=&\tan\{(\alpha+\beta)+\gamma\}\end{eqnarray}\)

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加法定理を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan(\alpha+\beta)+\tan \gamma\,}{\,1-\tan(\alpha+\beta) \, \tan \gamma\,}\end{eqnarray}\)

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\(\tan(\alpha+\beta)=-1~,~\tan \gamma=7\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+7\,}{\,1-(-1) \cdot 7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,1+7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\tan(\alpha+\beta+\gamma)=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) となる