2直線のなす角とtanの加法定理

直線 \(y=2x-1\) と \(x\) 軸との なす角を \(\alpha\) とすると、

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　\(\tan \alpha=2\)　\(\cdots~{\small [\,1\,]}\)

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直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+2\) と \(x\) 軸との なす角を \(\beta\) とすると、

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　\(\tan \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)　\(\cdots~{\small [\,2\,]}\)

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よって、2直線の なす角 \(\theta\) は、

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　\(\theta=\alpha-\beta\)

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ここで、\(\tan \theta=\tan(\alpha-\beta)\) の値は加法定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\alpha-\beta)&=&\displaystyle \frac{\,\tan \alpha-\tan \beta\,}{\,1+\tan \alpha \, \tan \beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}{\,1+2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,}\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right) {\, \small \times \,} 3\,}{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right) {\, \small \times \,} 3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6-1\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)

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よって、\(\tan \theta=1\) 、\(0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より

　\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)

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したがって、\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となる