直線と角をなす直線の方程式

直線 \(y=3x\) と \(x\) 軸のなす角を \(\alpha\) とすると、

---

　\(\tan \alpha=3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)

---

---

この直線に対して、正の方向に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の角をなす直線の傾きを \(m_1\) とすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~m_1&=&\tan \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan \alpha+\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,1-\tan \alpha \cdot \tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+1\,}{\,1-3 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,-2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

---

この直線に対して、負の方向に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の角をなす直線の傾きを \(m_2\) とすると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~m_2&=&\tan \left(\alpha-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan \alpha-\tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,1+\tan \alpha \cdot \tan \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3-1\,}{\,1+3 \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(y=-2x~,~\)\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) となる