- 数学Ⅱ｜三角関数「加法定理を用いた等式・不等式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜加法定理を用いた等式・不等式の証明
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
加法定理を用いた等式・不等式の証明
■ 加法定理を用いた等式の証明
① 左辺（または右辺）を加法定理を用いて計算する。
② 右辺（または左辺）と等しいことを示す。
■ 加法定理を用いた不等式の証明
① 左辺ー右辺の式を加法定理を用いて計算する。
② 条件より、\(0\) より大きいことを示し、不等式を証明する。
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詳しい解説｜加法定理を用いた等式・不等式の証明
等式 \(\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}=\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\) の証明方法は？また、\(0 \lt \alpha \lt \pi~,~0 \lt \beta \lt \pi\) のとき、不等式 \(\sin\alpha+\sin\beta \gt \sin(\alpha+\beta)\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,}\end{eqnarray}\)
分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}-\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}=\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\) [終]
[証明] \(0 \lt \alpha \lt \pi~,~0 \lt \beta \lt \pi\) より、
\(0 \lt \sin\alpha {\small ~≦~} 1~,~-1 \lt \cos\alpha \lt 1\)
\(0 \lt \sin\beta {\small ~≦~} 1~,~-1 \lt \cos\beta \lt 1\)
（左辺）ー（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\alpha+\sin\beta)-\sin(\alpha+\beta)
\\[5pt]~~~&=&\sin\alpha+\sin\beta-(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)
\\[5pt]~~~&=&\sin\alpha+\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\\[5pt]~~~&=&(\sin\alpha-\sin\alpha\cos\beta)+(\sin\beta-\cos\alpha\sin\beta)
\\[5pt]~~~&=&\sin\alpha(1-\cos\beta)+\sin\beta(1-\cos\alpha)\end{eqnarray}\)
ここで、\(0 \lt \alpha \lt \pi~,~0 \lt \beta \lt \pi\) より、
\(\sin\alpha \gt 0~,~\sin\beta \gt 0\)
また、\(-1 \lt \cos\alpha \lt 1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-1 &\lt& -\cos\alpha \lt 1
\\[5pt]~~~1-1 &\lt& 1-\cos\alpha \lt 1+1
\\[5pt]~~~0 &\lt& 1-\cos\alpha \lt 2\end{eqnarray}\)
同様に、\(0 \lt 1-\cos\beta \lt 2\)
よって、
\(\sin\alpha(1-\cos\beta) \gt 0\) かつ
\(\sin\beta(1-\cos\alpha) \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\alpha(1-\cos\beta)+\sin\beta(1-\cos\alpha) &\gt& 0
\\[5pt]~~~(\sin\alpha+\sin\beta)-\sin(\alpha+\beta) &\gt& 0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin\alpha+\sin\beta \gt \sin(\alpha+\beta)\) [終]
