- 数学Ⅱ｜三角関数「sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用」の基本例題解説ページです。
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問題｜sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
三角関数 33☆\(\sin \alpha+\cos \beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}~,~\)\(\sin \beta+\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
Point：sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
① \(\sin \alpha+\cos \beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) と \(\sin \beta+\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の両辺をそれぞれ2乗する。
\(\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \beta+\cos^2 \beta=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\)
\(\sin^2 \beta+2\sin \beta \cos \alpha+\cos^2 \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\)
② 2式の和を計算し、相互関係の公式と加法定理より、\(\sin(\alpha+\beta)\) の値を求める。
\(2+2(\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha)=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~\sin(\alpha+\beta)=-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\)
\(\sin \alpha+\cos \beta\) の値と \(\sin \beta+\cos \alpha\) の値から \(\sin(\alpha+\beta)\) の値の求め方は、
① \(\sin \alpha+\cos \beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) と \(\sin \beta+\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の両辺をそれぞれ2乗する。
\(\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \beta+\cos^2 \beta=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\)
\(\sin^2 \beta+2\sin \beta \cos \alpha+\cos^2 \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\)
② 2式の和を計算し、相互関係の公式と加法定理より、\(\sin(\alpha+\beta)\) の値を求める。
\(2+2(\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha)=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\)
\(~\Leftrightarrow ~\sin(\alpha+\beta)=-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\)
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詳しい解説｜sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
三角関数 33☆
\(\sin \alpha+\cos \beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}~,~\)\(\sin \beta+\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) のとき、\(\sin(\alpha+\beta)\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\sin \alpha+\cos \beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sin \alpha+\cos \beta)^2&=&\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2
\\[5pt]~~~\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \beta+\cos^2 \beta&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \beta+\cos^2 \beta&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\sin \beta+\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) の両辺を2乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sin \beta+\cos \alpha)^2&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)^2
\\[5pt]~~~\sin^2 \beta+2\sin \beta \cos \alpha+\cos^2 \alpha&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\sin^2 \beta+2\sin \beta \cos \alpha+\cos^2 \alpha&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \beta+\cos^2 \beta&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,} \\[5pt]~~
+\big{)}~~~\sin^2 \beta+2\sin \beta \cos \alpha+\cos^2 \alpha&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\\[5pt]
\hline (\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)+(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)+2(\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha)&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
\sin^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \beta+\cos^2 \beta&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,} \\[5pt]~~
+\big{)}~~~\sin^2 \beta+2\sin \beta \cos \alpha+\cos^2 \alpha&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,16\,}\\[5pt]
\hline (\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)+(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta)+2(\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha)&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1~,~\)\(\sin^2 \beta+\cos^2 \beta=1\) と
加法定理 \(\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\sin \beta \cos \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+1+2\sin(\alpha+\beta)&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~2\sin(\alpha+\beta)&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}-2
\\[5pt]~~~2\sin(\alpha+\beta)&=&\displaystyle \frac{\,5-16\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~2\sin(\alpha+\beta)&=&-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~\sin(\alpha+\beta)&=&-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin(\alpha+\beta)=-\displaystyle \frac{\,11\,}{\,16\,}\) となる
