- 数学Ⅱ｜三角関数「原点を中心に回転させた点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜原点を中心に回転させた点の座標
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
原点を中心に回転させた点の座標
点 \({\rm P}(2~,~3)\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 回転させた点 \({\rm Q}\) の座標は、
① 点 \({\rm Q}\) の座標を \((x~,~y)\) とおく。
② 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm OP}=r\) と、動径と \(x\) 軸との正の方向とのなす角 \(\alpha\) を用いて表す。
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r\,}~,~\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,r\,}
\\[5pt]~~~&\Leftrightarrow&r\cos \alpha=2~,~r\sin \alpha=3\end{eqnarray}\)
③ 点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm OQ}=r\) と、動径と \(x\) 軸との正の方向とのなす角 \(\displaystyle \alpha+\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) を用いて表し、加法定理より \(x~,~y\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}
\\[5pt]~~~\sin \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜原点を中心に回転させた点の座標
点 \({\rm P}(2~,~3)\) を原点を中心として \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点 \({\rm Q}\) の座標の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
回転後の点の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) とする
\({\rm OP}\) の長さを \(r\) 、動径 \({\rm OP}\) と \(x\) 軸の正の方向とのなす角を \(\alpha\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos \alpha=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r\,}~,~\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,r\,}
\\[5pt]~~~&\Leftrightarrow&r\cos \alpha=2~,~r\sin \alpha=3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\({\rm OQ}=r\) で動径 \({\rm OQ}\) と \(x\) 軸の正の方向とのなす角が \(\displaystyle \alpha+\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) より、
\(\cos \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\sin \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}\)
これに加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&r\cos \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&r\left(\cos \alpha \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\sin \alpha \cdot \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&r\cos \alpha \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-r\sin \alpha \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-3 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-3\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&r\sin \left(\alpha+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&r\left(\sin \alpha \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+\cos \alpha \cdot \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&r\sin \alpha \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+r\cos \alpha \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\hspace{30pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+2\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm Q}\left(\displaystyle \frac{\,2-3\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3+2\sqrt{3}\,}{\,2\,}\right)\) となる
