- 数学Ⅱ｜三角関数「2倍角の公式と式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜2倍角の公式と式の値
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
2倍角の公式と式の値
2倍角の公式を用いた \(\sin 2\alpha~,~\)\(\cos 2\alpha~,~\)\(\tan 2\alpha\) の値は、
① 相互関係の公式より、\(\cos \alpha~,~\)\(\tan \alpha\) の値を求める。
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} \lt \alpha \lt \pi~,~\)\(\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、
\(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、\(\cos \alpha=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
\(\tan \alpha=\sin \alpha {\, \small \div \,} \cos \alpha\) より、\(\tan \alpha=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
② 2倍角の公式を用いて、\(\sin 2\alpha~,~\)\(\cos 2\alpha~,~\)\(\tan 2\alpha\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\sin 2\alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[7pt]\cos 2\alpha&=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&1-2\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&2\cos^2 \alpha-1
\\[7pt]\tan 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2 \tan \alpha\,}{\,1-\tan^2 \alpha\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜2倍角の公式と式の値
\(\alpha\) は第2象限の角で \(\sin \alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin 2\alpha~,~\)\(\cos 2\alpha~,~\)\(\tan 2\alpha\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} \lt \alpha \lt \pi\) より、
\(\cos \alpha \lt 0~,~\)\(\tan \alpha \lt 0\)
相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \alpha &=&1-\sin^2 \alpha
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \alpha \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \alpha &=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\tan \alpha=\displaystyle \frac{\,\sin \alpha\,}{\,\cos \alpha\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \alpha &=&\sin \alpha {\, \small \div \,} \cos \alpha
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \div \,} \left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2\alpha &=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,} {\, \small \times \,} \left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2\alpha &=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)^2-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\tan 2\alpha &=&\displaystyle \frac{\,2 \tan \alpha\,}{\,1-\tan^2 \alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)\,}{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}{\,1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,7\,}{\,16\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,16\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 2\alpha=-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,25\,}~,~\)\(\cos 2\alpha=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,25\,}\)
\(\tan 2\alpha=-\displaystyle \frac{\,24\,}{\,7\,}\) となる
