- 数学Ⅱ｜三角関数「3倍角の公式の証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜3倍角の公式の証明
三角関数 363倍角の公式 \(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) と \(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
3倍角の公式の証明
Point：3倍角の公式の証明
① \(3\alpha=2\alpha+\alpha\) として、加法定理を用いる。
② \(2\alpha\) の式は2倍角の公式を用いる。
\(\begin{eqnarray}\sin 2\alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[7pt]\cos 2\alpha&=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&1-2\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&2\cos^2 \alpha-1
\\[7pt]\tan 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2 \tan \alpha\,}{\,1-\tan^2 \alpha\,}
\end{eqnarray}\)
③ \(\sin 3\alpha\) は \(\sin \alpha\) だけの式に、\(\cos 3\alpha\) は \(\cos \alpha\) だけの式にする。
3倍角の公式の証明の方法は、
① \(3\alpha=2\alpha+\alpha\) として、加法定理を用いる。
② \(2\alpha\) の式は2倍角の公式を用いる。
\(\begin{eqnarray}\sin 2\alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha
\\[7pt]\cos 2\alpha&=&\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&1-2\sin^2 \alpha
\\[5pt]&=&2\cos^2 \alpha-1
\\[7pt]\tan 2\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2 \tan \alpha\,}{\,1-\tan^2 \alpha\,}
\end{eqnarray}\)
③ \(\sin 3\alpha\) は \(\sin \alpha\) だけの式に、\(\cos 3\alpha\) は \(\cos \alpha\) だけの式にする。
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詳しい解説｜3倍角の公式の証明
三角関数 36
3倍角の公式 \(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) と \(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) の証明方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha+(1-2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\cos(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2\cos^2 \alpha-1) \cdot \cos \alpha-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
