このページは、「2倍角の公式を用いた等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
2倍角の公式を用いた等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の等式を証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.150 章末問題A 3(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.146 章末問題A 4(2)
[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta \cdot \cos\theta\,}{\,\sin\theta \cdot \cos\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta \cdot \sin\theta\,}{\,\cos\theta \cdot \sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
次に、右辺は2倍角の公式より、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,2\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の等式を証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.150 問題 11(2)
[証明]（左辺）
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) と
\(\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,1+(2\cos^2\theta-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,2\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\) [終]
