このページは、「2倍角の公式を用いた等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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2倍角の公式を用いた等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の等式を証明せよ。
\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+\sin 2\theta\)
\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+\sin 2\theta\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.153 練習33
[証明] （左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\theta+\cos\theta)^2
\\[3pt]~~~&=&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\sin 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+\sin 2\theta\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の等式を証明せよ。
\({\small (1)}~\)\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}=\tan\alpha\)
\({\small (1)}~\)\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}=\tan\alpha\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.149 問題 8
\({\small (1)}~\)[証明] （左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\alpha+\cos\alpha)^2
\\[3pt]~~~&=&\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\sin 2\alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}\end{eqnarray}\)
2倍角の公式 \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) と
\(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\alpha\cos\alpha\,}{\,1+(2\cos^2\alpha-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\alpha\cos\alpha\,}{\,2\cos^2\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}=\tan\alpha\) [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の等式を証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.150 章末問題A 3(2)
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.146 章末問題A 4(2)
[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta \cdot \cos\theta\,}{\,\sin\theta \cdot \cos\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta \cdot \sin\theta\,}{\,\cos\theta \cdot \sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
次に、右辺は2倍角の公式より、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,2\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の等式を証明せよ。
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.150 問題 11(2)
[証明]（左辺）
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) と
\(\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,1+(2\cos^2\theta-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,2\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\) [終]
