- 数学Ⅱ｜三角関数「半角の公式と三角関数の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜半角の公式と三角関数の値
三角関数 38半角の公式を用いた \(\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\)\(\sin 15°~,~\)\(\cos 15°~,~\)\(\tan 15°\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
半角の公式と三角関数の値
Point：半角の公式と三角関数の値
① 半角の公式を用いて、求めたい三角関数の2乗の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\sin^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\cos^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\tan^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}
\end{eqnarray}\)
② 角 \(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) が第何象限かを調べ、三角関数の正負を判断し、\(\sin\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) の値を求める。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) や \(15°\) など半角の三角関数の値の求め方は、
① 半角の公式を用いて、求めたい三角関数の2乗の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\sin^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\cos^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\tan^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}
\end{eqnarray}\)
② 角 \(\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) が第何象限かを調べ、三角関数の正負を判断し、\(\sin\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) の値を求める。
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詳しい解説｜半角の公式と三角関数の値
三角関数 38
半角の公式を用いた \(\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\)\(\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\)\(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\)\(\sin 15°~,~\)\(\cos 15°~,~\)\(\tan 15°\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}=\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,2\,}\) より、半角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}&=&\sin^2\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) は第1象限の角であるので \(\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}&=&\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,2-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2-\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}&=&\cos^2\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) は第1象限の角であるので \(\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}&=&\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,2+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2+\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan^2\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}&=&\tan^2\displaystyle\frac{\,\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}{\,1+\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}{\,\left(1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2-\sqrt{\,2\,}\,}{\,2+\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}-1\,}{\,\sqrt{\,2\,}+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(\sqrt{\,2\,}-1)(\sqrt{\,2\,}-1)\,}{\,(\sqrt{\,2\,}+1)(\sqrt{\,2\,}-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2-2\sqrt{\,2\,}+1\,}{\,2-1\,}
\\[5pt]~~~&=&3-2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) は第1象限の角であるので \(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,} \gt 0\) より、
\(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}=\sqrt{\,3-2\sqrt{\,2\,}\,}\)
したがって、
\(\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2-\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,2\,}\)
\(\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2+\sqrt{\,2\,}\,}\,}{\,2\,}\)
\(\tan\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}=\sqrt{\,3-2\sqrt{\,2\,}\,}\)
\(15°=\displaystyle\frac{\,30°\,}{\,2\,}\) より、半角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 15°&=&\sin^2\displaystyle\frac{\,30°\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 30°\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(15°\) は第1象限の角であるので \(\sin 15° \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 15°&=&\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\cos 15°\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 15°&=&\cos^2\displaystyle\frac{\,30°\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 30°\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(15°\) は第1象限の角であるので \(\cos 15° \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 15°&=&\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\tan 15°\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan^2 15°&=&\tan^2\displaystyle\frac{\,30°\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 30°\,}{\,1+\cos 30°\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\left(1-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}{\,\left(1+\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right){\, \small \times \,}2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(2-\sqrt{\,3\,})(2-\sqrt{\,3\,})\,}{\,(2+\sqrt{\,3\,})(2-\sqrt{\,3\,})\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,4-4\sqrt{\,3\,}+3\,}{\,4-3\,}
\\[5pt]~~~&=&7-4\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(15°\) は第1象限の角であるので \(\tan 15° \gt 0\) より、
\(\tan 15°=\sqrt{\,7-4\sqrt{\,3\,}\,}\)
したがって、
\(\sin 15°=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2-\sqrt{\,3\,}\,}\,}{\,2\,}\)
\(\cos 15°=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2+\sqrt{\,3\,}\,}\,}{\,2\,}\)
\(\tan 15°=\sqrt{\,7-4\sqrt{\,3\,}\,}\)
