- 数学Ⅱ｜三角関数「半角の公式と式の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜半角の公式と式の値
三角関数 39\(\alpha\) は第2象限の角で \(\sin \alpha = \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
半角の公式と式の値
Point：半角の公式と式の値
① \(\sin \alpha\) の値より、\(\cos \alpha\) の値を求める。
\(\sin \alpha = \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} \lt \alpha \lt \pi\) より、
\(\cos \alpha = -\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
② \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の範囲を求め、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の三角関数の正負を調べる。
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0~,~\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0~,~\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0\)
③ 半角の公式を用いて、\(\sin^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) を求め、正負に注意し \(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\sin^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\cos^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\tan^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}
\end{eqnarray}\)
半角の公式を用いた \(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値の求め方は、
① \(\sin \alpha\) の値より、\(\cos \alpha\) の値を求める。
\(\sin \alpha = \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} \lt \alpha \lt \pi\) より、
\(\cos \alpha = -\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
② \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の範囲を求め、\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の三角関数の正負を調べる。
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0~,~\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0~,~\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0\)
③ 半角の公式を用いて、\(\sin^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) を求め、正負に注意し \(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}\sin^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\cos^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos\theta\,}{\,2\,}
\\[7pt]\tan^2\displaystyle\frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜半角の公式と式の値
三角関数 39
\(\alpha\) は第2象限の角で \(\sin \alpha = \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) のとき、\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}~,~\)\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} \lt \alpha \lt \pi\) より、\(\cos \alpha \lt 0\)
相互関係の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \alpha&=&1-\sin^2 \alpha
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \alpha \lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \alpha&=&-\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,16\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt \alpha\lt \pi\) であるので \(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の範囲は、
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} \lt \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
これより、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0~,~\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0~,~\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0\)
よって、半角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1-\cos \alpha\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right){\, \small \times \,}5\,}{\,2{\, \small \times \,}5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+4\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9\,}{\,10\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値は、半角の公式を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1+\cos \alpha\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right){\, \small \times \,}5\,}{\,2{\, \small \times \,}5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5-4\,}{\,10\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\end{eqnarray}\)
また、\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}\) の値は、半角の公式を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan^2 \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1-\cos \alpha\,}{\,1+\cos \alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\,}{\,1+\left(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\left(1+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right){\, \small \times \,}5\,}{\,\left(1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\right){\, \small \times \,}5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5+4\,}{\,5-4\,}
\\[5pt]~~~&=&9\end{eqnarray}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}&=&\sqrt{\,9\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\)\(\cos \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\)
\(\tan \displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}=3\)
