- 数学Ⅱ｜三角関数「2倍角の公式と方程式・不等式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
2倍角の公式と方程式・不等式の解
2倍角の公式を用いて方程式・不等式の解は、
① 2倍角の公式を用いて式変形する。
\(\sin 2x=2\sin x\cos x\)
\(\cos 2x\) は、
\(\sin x\) で統一したい場合は、
\(\cos 2x=1-2\sin^2 x\)
\(\cos x\) で統一したい場合は、
\(\cos 2x=2\cos^2 x-1\)
② \(\sin x\) や \(\cos x\) についての方程式・不等式を解く。
\(2\sin x\cos x\) の式は因数分解でくくり出す。
\(\sin x(\cos x)\) の2次式は因数分解して解く。
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詳しい解説｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、方程式 \(\sin 2x=\cos x~,~\)\(\cos 2x=\sin x\) や不等式 \(\cos 2x \gt 5\cos x-3\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2x&=&\cos x
\\[3pt]~~~2\sin x\cos x&=&\cos x
\\[3pt]~~~2\sin x\cos x-\cos x&=&0
\\[3pt]~~~\cos x(2\sin x-1)&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(\cos x=0\) または \(2\sin x-1=0\)
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、
\(\cos x=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(2\sin x-1=0\) のとき、すなわち \(\sin x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&\sin x
\\[3pt]~~~1-2\sin^2 x&=&\sin x\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~-2\sin^2 x-\sin x+1&=&0
\\[3pt]~~~2\sin^2 x+\sin x-1&=&0\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~2\sin x&&-1&-\sin x\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~\sin x&&1&2\sin x\\[2pt]
\hline
&&&\sin x
\end{array}\)
\((2\sin x-1)(\sin x+1)=0\)
よって、\(2\sin x-1=0\) または \(\sin x+1=0\)
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、
\(2\sin x-1=0\) のとき、すなわち \(\sin x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(\sin x+1=0\) のとき、すなわち \(\sin x=-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x &\gt& 5\cos x-3
\\[3pt]~~~2\cos^2 x-1 &\gt& 5\cos x-3\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos^2 x-5\cos x-1+3 &\gt& 0
\\[3pt]~~~2\cos^2 x-5\cos x+2 &\gt& 0\end{eqnarray}\)
たすき掛けの因数分解より、
\(\hspace{20pt}\)\(\begin{array}{c c c|c}
~2\cos x&&-1&-\cos x\\[-1pt]
&{\times} & & \\[-1pt]
~\cos x&&-2&-4\cos x\\[2pt]
\hline
&&&-5\cos x
\end{array}\)
\((2\cos x-1)(\cos x-2) \gt 0\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、
\(-1{\small ~≦~}\cos x{\small ~≦~}1\)
各辺に \(-2\) を足すと、
\(-3{\small ~≦~}\cos x-2{\small ~≦~}-1\)
よって、常に \(\cos x-2\lt 0\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos x-1&\lt& 0
\\[3pt]~~~\cos x&\lt&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の2個分と10個分であり、\(x\lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の範囲である。
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt x\lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
