2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値

2倍角の公式を用いると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\cos 2x+2\cos x
\\[3pt]~~~&=&2\cos^2 x-1+2\cos x
\\[3pt]~~~&=&2\cos^2 x+2\cos x-1\end{eqnarray}\)

ここで、\(\cos x=t\) とおくと、\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~-1&{\small ~≦~}&\cos x{\small ~≦~}1
\\[3pt]~~~-1&{\small ~≦~}&t{\small ~≦~}1~~~\hspace{10pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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\(y\) を \(t\) で表し、平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2t^2+2t-1
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,\right)-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-1
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\right)^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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頂点 \(\left(\,-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,\right)\) で下に凸のグラフより、

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\(t=1\) のとき最大値をとり、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot 1^2+2 \cdot 1-1
\\[3pt]~~~&=&2+2-1
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)

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ここで \(t=1\) のとき、

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　\(\cos x=1\)

\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) より、\(x=0\)

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また \(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき最小値をとり、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos x&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\(0{\small ~≦~}x \lt 2\pi\) より、\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)

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したがって、
　\(x=0\) のとき最大値 \(3\)

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　\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) のとき最小値 \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)