- 数学Ⅱ｜三角関数「2倍角の公式と三角関数のグラフ」の基本例題解説ページです。
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問題｜2倍角の公式と三角関数のグラフ
三角関数 42☆関数 \(y=\sin\theta\cos\theta~,~\)\(y=\cos^2\theta\) のグラフの描き方は？また、それぞれの周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
2倍角の公式と三角関数のグラフ
Point：2倍角の公式と三角関数のグラフ
① 2倍角の公式を用いて、1次式の三角関数に式変形する。
\(\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin2\theta\)
\(\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta\)
\(\sin^2\theta=\displaystyle\frac{\,1-\cos2\theta\,}{\,2\,}\)
\(\cos^2\theta=\displaystyle\frac{\,1+\cos2\theta\,}{\,2\,}\)
② 三角関数のグラフで描く。
2次式の三角関数のグラフは、
① 2倍角の公式を用いて、1次式の三角関数に式変形する。
\(\sin\theta\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin2\theta\)
\(\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta\)
\(\sin^2\theta=\displaystyle\frac{\,1-\cos2\theta\,}{\,2\,}\)
\(\cos^2\theta=\displaystyle\frac{\,1+\cos2\theta\,}{\,2\,}\)
② 三角関数のグラフで描く。
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詳しい解説｜2倍角の公式と三角関数のグラフ
三角関数 42☆
関数 \(y=\sin\theta\cos\theta~,~\)\(y=\cos^2\theta\) のグラフの描き方は？また、それぞれの周期の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(y=\sin\theta\cos\theta\) について、
2倍角の公式 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) より、
\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin2\theta\)
\(\sin2\theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(\sin2\theta\) と \(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin2\theta\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\sin2\theta~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\sin2\theta~ & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\) までの \(\pi\)
\(y=\cos^2\theta\) について、
2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos2\theta&=&2\cos^2\theta-1
\\[3pt]~~~2\cos^2\theta-1&=&\cos2\theta
\\[3pt]~~~2\cos^2\theta&=&\cos2\theta+1
\\[3pt]~~~\cos^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos2\theta+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(y=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos2\theta+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(\cos2\theta\) の値が \(-1~,~0~,~1\) となるような \(2\theta\) の値を \(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) から \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の範囲で考えて、表にまとめる。
\(2\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) のときの、\(\cos2\theta\) と \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos2\theta\) と \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos2\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の値は、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\cos2\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\\
\hline
~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos2\theta~ & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\\
\hline
y & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~2\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \pi & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi & 2\pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
~\cos2\theta~ & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\\
\hline
~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos2\theta~ & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\\
\hline
y & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
よって、\(\theta\) の値と \(y\) の値の関係は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(0~,~\)\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\)\(2\pi~,~\)\(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi\) の各値にそれぞれ \({\, \small \div \,}2\) することより、
\(\begin{array}{c|ccccccc}
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
~\theta~ & -\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,} & \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi & \pi & \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}\\
\hline
y & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 0 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & 1 & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \vphantom{\frac{\,0\,}{\,0\,}}
\end{array}\)
これより、グラフに描くと、
また、周期は繰り返しの最小の間隔で、
\(y=1\) となる \(0\) から \(\pi\) までの \(\pi\)
