- 数学Ⅱ｜三角関数「tanθ/2の値とsinθ・cosθ・tanθ」の基本例題解説ページです。
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問題｜tanθ/2の値とsinθ・cosθ・tanθ
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
tanθ/2の値とsinθ・cosθ・tanθ
\(\tan \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=t\) とおくときの \(\tan \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\sin \theta\) は、
① \(\tan \theta\) は \(2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) として2倍角の公式を用いて \(t\) で表す。
\(\tan \theta=\tan 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,2\tan \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,1-\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\)
よって、\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}\)
② \(\cos \theta\) は \(2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) とした2倍角の公式と相互関係の公式を用いて \(t\) で表す。
\(\cos \theta=\cos 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=2\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}-1\)
\(\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}\)
よって、\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\)
③ \(\sin \theta\) は相互関係の公式より \(\tan \theta~,~\)\(\cos \theta\) の値から \(t\) で表す。
\(\sin \theta=\tan \theta \cdot \cos \theta\)
よって、\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\)
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詳しい解説｜tanθ/2の値とsinθ・cosθ・tanθ
\(\tan \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}=t\) とするとき、\(\tan \theta~,~\)\(\cos \theta~,~\)\(\sin \theta\) を \(t\) を用いて表す方法は？ただし、\(t{\small ~≠~}{\small \pm}1\) とする。
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\tan \theta\) は \(2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) として2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan \theta&=&\tan 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\tan \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}{\,1-\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta\) は \(\cos 2 \cdot \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\) として、2倍角の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta=2\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}-1\end{eqnarray}\)
ここで、相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\tan^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\cos^2 \displaystyle \frac{\,\theta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
よって、これを代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+t^2\,}-1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-(1+t^2)\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2-1-t^2\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\sin \theta\) は相互関係の公式 \(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,\sin \theta\,}{\,\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\tan \theta \cdot \cos \theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1-t^2\,}~,~\)\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,1-t^2\,}{\,1+t^2\,}\)
\(\sin \theta=\displaystyle \frac{\,2t\,}{\,1+t^2\,}\) となる
