- 数学Ⅱ｜三角関数「sin18°の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜sin18°の値
三角関数 44☆\(\theta=18^\circ\) で \(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) が成り立つことを示して、\(\sin 18^\circ\) の値を求める方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
sin18°の値
Point：sin18°の値
① \(2\theta=36^\circ~,~3\theta=54^\circ\) より、\(\sin(90^\circ-54^\circ)=\cos 54^\circ\) を用いて \(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) を示す。
② \(\sin 2\theta\) の2倍角の公式と \(\cos 3\theta\) の3倍角の公式を用いて、方程式を解き、\(\sin 18^\circ\) の値を求める。
\(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) より、
\(2\sin \theta \cos \theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)
\(\theta=18^\circ\) のとき、\(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) を用いた \(\sin 18^\circ\) の値は、
① \(2\theta=36^\circ~,~3\theta=54^\circ\) より、\(\sin(90^\circ-54^\circ)=\cos 54^\circ\) を用いて \(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) を示す。
② \(\sin 2\theta\) の2倍角の公式と \(\cos 3\theta\) の3倍角の公式を用いて、方程式を解き、\(\sin 18^\circ\) の値を求める。
\(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) より、
\(2\sin \theta \cos \theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)
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詳しい解説｜sin18°の値
三角関数 44☆
\(\theta=18^\circ\) で \(\sin 2\theta=\cos 3\theta\) が成り立つことを示して、\(\sin 18^\circ\) の値を求める方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\theta=18^\circ\) とすると、
\(2\theta=36^\circ~,~3\theta=54^\circ\) となる
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2\theta&=&\sin 36^\circ
\\[3pt]~~~&=&\sin(90^\circ-54^\circ)
\\[3pt]~~~&=&\cos 54^\circ
\\[3pt]~~~&=&\cos 3\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 2\theta=\cos 3\theta\)
2倍角の公式と3倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\sin \theta \cos \theta&=&4\cos^3 \theta-3\cos \theta
\\[3pt]~~~2\sin \theta \cos \theta-4\cos^3 \theta+3\cos \theta&=&0
\\[3pt]~~~\cos \theta(2\sin \theta-4\cos^2 \theta+3)&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2\sin \theta \cos \theta-4\cos^3 \theta+3\cos \theta&=&0
\\[3pt]~~~\cos \theta(2\sin \theta-4\cos^2 \theta+3)&=&0\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \theta=1-\sin^2 \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta\{2\sin \theta-4(1-\sin^2 \theta)+3\}&=&0
\\[3pt]~~~\cos \theta(2\sin \theta-4+4\sin^2 \theta+3)&=&0
\\[3pt]~~~\cos \theta(4\sin^2 \theta+2\sin \theta-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(\cos \theta=0\) のとき、
\(\cos 18^\circ\neq 0\) より不適
\(4\sin^2 \theta+2\sin \theta-1=0\) のとき、
解の公式を用いると、
\(\sin \theta\) の係数が偶数であるので、
\(x=\displaystyle \frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{\,{b^{\prime}}^2-ac\,}\,}{\,a\,}\) を用いる。
\(x=\displaystyle \frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{\,{b^{\prime}}^2-ac\,}\,}{\,a\,}\) を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~\sin \theta&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,(-1)^2-4\cdot(-1)\,}\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,1+4\,}\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{\,5\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\theta=18^\circ\) より、\(\sin \theta \gt 0\)
したがって、
\(\sin 18^\circ=\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{\,5\,}\,}{\,4\,}\) となる
