- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数asinθ+bcosθの合成」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数asinθ+bcosθの合成
三角関数 45\(\sqrt{\,3\,}\sin\theta+\cos\theta~,~\)\(\sin\theta-\cos\theta~,~\)\(4\sin\theta+3\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に式変形する方法は？ただし、\(r \gt 0~,~-\pi \lt \alpha \lt \pi\) とする。
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数asinθ+bcosθの合成
Point：三角関数asinθ+bcosθの合成
① 座標上の点 \({\rm P}(a~,~b)\) を置き、\(x\) 軸と動径 \({\rm OP}\) とのなす角 \(\alpha\) と線分 \({\rm OP}\) の長さ \(r\) を求める。
② \(\alpha\) と \(r\) の値より、三角関数の合成を行う。
\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)
ただし、 \(r=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,r\,}~,~\)\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,r\,}\)
三角関数 \(a\sin\theta+b\cos\theta\) の合成は、
① 座標上の点 \({\rm P}(a~,~b)\) を置き、\(x\) 軸と動径 \({\rm OP}\) とのなす角 \(\alpha\) と線分 \({\rm OP}\) の長さ \(r\) を求める。
② \(\alpha\) と \(r\) の値より、三角関数の合成を行う。
\(a\sin\theta+b\cos\theta=r\sin(\theta+\alpha)\)
ただし、 \(r=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,r\,}~,~\)\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,r\,}\)
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詳しい解説｜三角関数asinθ+bcosθの合成
三角関数 45
\(\sqrt{\,3\,}\sin\theta+\cos\theta~,~\)\(\sin\theta-\cos\theta~,~\)\(4\sin\theta+3\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に式変形する方法は？ただし、\(r \gt 0~,~-\pi \lt \alpha \lt \pi\) とする。
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(x\) 座標 \(\sqrt{\,3\,}\)、\(y\) 座標 \(1\) の点 \({\rm P}\) とすると、
\(x\) 軸と動径 \({\rm OP}\) とのなす角 \(\alpha\) は、
\(\alpha=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
また、線分 \({\rm OP}\) の長さ \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(\sqrt{\,3\,})^2+1^2\,}=\sqrt{\,4\,}=2\end{eqnarray}\)
※ \(1:2:\sqrt{\,3\,}\) の直角三角形
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,3\,}\sin\theta+\cos\theta
\\[5pt]&=&2\left(\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\cdot\sin\theta+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\cos\theta\right)
\\[5pt]&=&2\left(\sin\theta\cdot\cos\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\cos\theta\cdot\sin\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)
\\[5pt]&=&2\sin\left(\theta+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(x\) 座標 \(1\)、\(y\) 座標 \(-1\) の点 \({\rm P}\) とすると、
\(x\) 軸と動径 \({\rm OP}\) とのなす角 \(\alpha\) は、
\(\alpha=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) \((-\pi \lt \alpha \lt \pi)\)
また、線分 \({\rm OP}\) の長さ \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,1^2+(-1)^2\,}=\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
※ \(1:1:\sqrt{\,2\,}\) の直角三角形
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin\theta-\cos\theta
\\[5pt]&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\cdot\sin\theta+\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\right)\cdot\cos\theta\right\}
\\[5pt]&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\sin\theta\cdot\cos\left(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+\cos\theta\cdot\sin\left(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\cdot\sin\theta+\left(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\right)\cdot\cos\theta\right\}
\\[5pt]&=&\sqrt{\,2\,}\left\{\sin\theta\cdot\cos\left(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+\cos\theta\cdot\sin\left(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\right\}
\\[5pt]&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(\theta-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
\(x\) 座標 \(4\)、\(y\) 座標 \(3\) の点 \({\rm P}\) とすると、
\(x\) 軸と動径 \({\rm OP}\) とのなす角を \(\alpha\) とすると、
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\)\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\)
また、線分 \({\rm OP}\) の長さ \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,4^2+3^2\,}
\\[5pt]&=&\sqrt{\,16+9\,}
\\[5pt]&=&\sqrt{\,25\,}
\\[5pt]&=&5\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~&&4\sin\theta+3\cos\theta
\\[5pt]&=&5\left(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}\sin\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\cos\theta\right)\end{eqnarray}\)
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\)\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&5(\sin\theta\cdot\cos\alpha+\cos\theta\cdot\sin\alpha)
\\[5pt]&=&5\sin(\theta+\alpha)\end{eqnarray}\)
ただし、
\(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\)\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\)
