- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数の合成と方程式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の合成と方程式の解
三角関数 46\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、方程式 \(\sqrt{3}\sin x+\cos x=1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数の合成と方程式の解
Point：三角関数の合成と方程式の解
① \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}\sin x+\cos x&=&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&1\end{eqnarray}\)
② \(x\) の範囲より、\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲を求める。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
③ ②の範囲から、方程式を満たす \(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の値を求め、\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) することで \(x\) の値を求める。
\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\)
よって、\(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
合成を用いる三角関数の方程式は、
① \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}\sin x+\cos x&=&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&1\end{eqnarray}\)
② \(x\) の範囲より、\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲を求める。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
③ ②の範囲から、方程式を満たす \(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の値を求め、\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) することで \(x\) の値を求める。
\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\)
よって、\(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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詳しい解説｜三角関数の合成と方程式の解
三角関数 46
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、方程式 \(\sqrt{3}\sin x+\cos x=1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
左辺を合成すると、点 \({\rm P}(\sqrt{3}~,~1)\) であるので、
\(r=2~,~\alpha=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}\sin x+\cos x&=&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&1
\\[5pt]~~~\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲は、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}{\small ~≦~}x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt 2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\)
よって、\(\sin\left(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) を満たす \(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の値は、
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分である。
\(x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\)
それぞれ \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\pi\,}{\,6\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~x&=&0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=0~,~\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\) となる
