- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数の合成と不等式の解」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の合成と不等式の解
三角関数 47\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、不等式 \(\sin x-\sqrt{3}\cos x\gt 1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数の合成と不等式の解
Point：三角関数の合成と不等式の解
① \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(\begin{eqnarray}~~~\sin x-\sqrt{3}\cos x&\gt&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)&\gt&1\end{eqnarray}\)
② \(x\) の範囲より、\(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値の範囲を求める。
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
③ ②の範囲で不等式を満たす \(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値の範囲を求め、\(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) して \(x\) の値の範囲を求める。
\(\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\gt \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
よって、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
合成を用いる三角関数の不等式は、
① \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(\begin{eqnarray}~~~\sin x-\sqrt{3}\cos x&\gt&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)&\gt&1\end{eqnarray}\)
② \(x\) の範囲より、\(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値の範囲を求める。
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
③ ②の範囲で不等式を満たす \(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値の範囲を求め、\(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) して \(x\) の値の範囲を求める。
\(\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\gt \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
よって、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\)
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詳しい解説｜三角関数の合成と不等式の解
三角関数 47
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、不等式 \(\sin x-\sqrt{3}\cos x\gt 1\) の解の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
左辺を合成すると、点 \({\rm P}(1~,~-\sqrt{3})\) であるので、
\(r=2~,~\alpha=-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\sin x-\sqrt{3}\cos x&\gt&1
\\[5pt]~~~2\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)&\gt&1
\\[5pt]~~~\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)&\gt&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の範囲は、
\(-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt 2\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
よって、\(\sin\left(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\gt \displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる \(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の値の範囲は、
単位円上の \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) との交点より、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分であり、\(y\gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の範囲である。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の範囲で、動径は基本角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) の1個分と5個分であり、\(y\gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) の範囲である。
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
各辺に \(+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}&\lt& x\lt \displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,1+2\,}{\,6\,}\pi&\lt& x\lt \displaystyle\frac{\,5+2\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}&\lt& x\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt x\lt \displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) となる
