- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数の合成と最大値・最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の合成と最大値・最小値
三角関数 48\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\sin x-\cos x\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値の求め方は？また、関数 \(y=4\sin x+3\cos x\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数の合成と最大値・最小値
Point：三角関数の合成と最大値・最小値
① \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x-\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
② \(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲より、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の値の範囲を求め、\(y\) の値の範囲を求める。
\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、
\(-1{\small ~≦~}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1\)
よって、\(-\sqrt{\,2\,}{\small ~≦~}y{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\)
③ 最大値・最小値とそのときの \(x\) の値を求める。
三角関数の合成を用いた関数の最大値・最小値は、
① \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x-\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
② \(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲より、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の値の範囲を求め、\(y\) の値の範囲を求める。
\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、
\(-1{\small ~≦~}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1\)
よって、\(-\sqrt{\,2\,}{\small ~≦~}y{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\)
③ 最大値・最小値とそのときの \(x\) の値を求める。
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詳しい解説｜三角関数の合成と最大値・最小値
三角関数 48
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\sin x-\cos x\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値の求め方は？また、関数 \(y=4\sin x+3\cos x\) の最大値・最小値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(y=\sin x-\cos x\) について、
右辺を合成すると、点 \({\rm P}(1~,~-1)\) であるので、
\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\alpha=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x-\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(x-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、
\(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 2\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
これより、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の値の範囲は、
\(-1{\small ~≦~}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1\)
\(\sqrt{\,2\,}\) をかけることで、\(y\) の値の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=\sqrt{\,2\,}\) のとき最大値で、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
また、\(y=-\sqrt{\,2\,}\) のとき最小値で、\(\sin\left(x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=-1\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) のとき最大値 \(\sqrt{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) のとき最小値 \(-\sqrt{\,2\,}\) となる
\(y=4\sin x+3\cos x\) について、
右辺を合成すると、点 \({\rm P}(4~,~3)\) であるので、
\(r=5\) であり、
\(\cos\alpha=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\sin\alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\) を満たす \(\alpha\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4\sin x+3\cos x
\\[5pt]~~~&=&5\sin(x+\alpha)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sin(x+\alpha)\) の値の範囲は、
\(-1{\small ~≦~}\sin(x+\alpha){\small ~≦~}1\)
\(5\) をかけることで、\(y\) の値の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&{\small ~≦~}&5\sin(x+\alpha){\small ~≦~}5
\\[5pt]~~~-5&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}5\end{eqnarray}\)
したがって、
最大値 \(5\)、最小値 \(-5\) となる
