t=sinx+cosxと置く関数の最大値・最小値

\(t=\sin x+\cos x\) の両辺を2乗すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~t^2&=&(\sin x+\cos x)^2
\\[3pt]~~~t^2&=&\sin^2 x+2\sin x \cos x+\cos^2 x\end{eqnarray}\)

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\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~t^2&=&1+2\sin x \cos x
\\[3pt]~~~2\sin x \cos x&=&t^2-1
\end{eqnarray}\)

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よって、関数 \(y=2\sin x+2\cos x+2\sin x \cos x\) を \(t\) の関数で表すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2\sin x+2\cos x+2\sin x \cos x
\\[3pt]~~~&=&2(\sin x+\cos x)+2\sin x \cos x
\\[3pt]~~~&=&2t+t^2-1
\\[3pt]~~~&=&t^2+2t-1~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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ここで、\(t=\sin x+\cos x\) を合成すると、

\(\begin{eqnarray}~~~t&=&\sin x+\cos x
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)

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これより、

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　\(-1{\small ~≦~}\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1\)

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\(\sqrt{\,2\,}\) を掛けると \(t\) の値の範囲は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(x+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&t{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2+2t-1
\\[3pt]~~~&=&(t^2+2t+1)-1-1
\\[3pt]~~~&=&(t+1)^2-2\end{eqnarray}\)

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\(-\sqrt{\,2\,}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}\) の範囲で、

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\(t=\sqrt{\,2\,}\) のとき最大となり、

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　\({\small [\,1\,]}\) に代入して、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&(\sqrt{\,2\,})^2+2\sqrt{\,2\,}-1
\\[3pt]~~~&=&2+2\sqrt{\,2\,}-1
\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(t=-1\) のとき、

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　頂点の \(y\) 座標 \(-2\) が最小値

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したがって、

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　最大値 \(1+2\sqrt{\,2\,}\) 、最小値 \(-2\) となる