- 数学Ⅱ｜三角関数「sin²x・sinxcosx・cos²xを含む関数」の基本例題解説ページです。
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問題｜sin²x・sinxcosx・cos²xを含む関数
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
sin²x・sinxcosx・cos²xを含む関数
\(\sin^2x~,~\)\(\sin x\cos x~,~\)\(\cos^2x\) を含む関数の最大値・最小値の求め方は、
① 2倍角の公式を用いて \(y\) を \(\sin 2x\) と \(\cos 2x\) の関数で表す。
\(2\sin x\cos x=\sin 2x\)
\(\sin^2x=\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}\)
\(\cos^2x=\displaystyle\frac{\,1+\cos 2x\,}{\,2\,}\)
これより、\(y=\sin 2x+\cos 2x+2\)
② \(a\sin\theta+b\cos\theta\) を \(r\sin(\theta+\alpha)\) の形に合成する。
\(y=\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+2\)
③ \(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲を求めて、\(y\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値を求める。
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詳しい解説｜sin²x・sinxcosx・cos²xを含む関数
\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=\sin^2x+2\sin x\cos x+3\cos^2x\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(\sin 2x\) の2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2x&=&2\sin x\cos x
\\[5pt]~~~2\sin x\cos x&=&\sin 2x~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\cos 2x\) の2倍角の半角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&1-2\sin^2x
\\[5pt]~~~2\sin^2x&=&1-\cos 2x
\\[5pt]~~~\sin^2x&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&2\cos^2x-1
\\[5pt]~~~2\cos^2x-1&=&\cos 2x
\\[5pt]~~~2\cos^2x&=&1+\cos 2x
\\[5pt]~~~\cos^2x&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、\(y\) に \({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) を代入すると、
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}+\sin 2x+\displaystyle\frac{\,3(1+\cos 2x)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x+3+3\cos 2x\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sin 2x+\displaystyle\frac{\,2\cos 2x+4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sin 2x+\cos 2x+2\end{eqnarray}\)
ここで、\(\sin 2x+\cos 2x\) を合成すると、
\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\alpha=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin 2x+\cos 2x+2
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+2\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0 {\, \small \times \,} 2&{\small ~≦~}&x {\, \small \times \,} 2\lt 2\pi {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&2x\lt 4\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 4\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の範囲から \(y\) の範囲を求めると、
\\[5pt]~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~2-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+2{\small ~≦~}2+\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~2-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}2+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=2+\sqrt{\,2\,}\) のとき最大値で
\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(y=2-\sqrt{\,2\,}\) のとき最小値で
\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=-1\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi\) のとき最大値 \(2+\sqrt{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\) のとき最小値 \(2-\sqrt{\,2\,}\)
