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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01次の関数の最大値と最小値、およびそのときの \(x\) の値を求めよ。
\(y=\sin^2x+4\sin x\cos x+5\cos^2x\)
\((0{\small ~≦~}x\lt 2\pi)\)
\(y=\sin^2x+4\sin x\cos x+5\cos^2x\)
\((0{\small ~≦~}x\lt 2\pi)\)
数研出版｜数学Ⅱ[709] p.11 練習
\(\sin 2x\) の2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2x&=&2\sin x\cos x
\\[5pt]~~~2\sin x\cos x&=&\sin 2x~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\cos 2x\) の2倍角の半角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&1-2\sin^2x
\\[5pt]~~~2\sin^2x&=&1-\cos 2x
\\[5pt]~~~\sin^2x&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&2\cos^2x-1
\\[5pt]~~~2\cos^2x-1&=&\cos 2x
\\[5pt]~~~2\cos^2x&=&1+\cos 2x
\\[5pt]~~~\cos^2x&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、\(y\) に \({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin^2x+4\sin x\cos x+5\cos^2x
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}+2\sin 2x+\displaystyle\frac{\,5(1+\cos 2x)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x+5+5\cos 2x\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 2x+\displaystyle\frac{\,4\cos 2x+6\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 2x+2\cos 2x+3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}+2\sin 2x+\displaystyle\frac{\,5(1+\cos 2x)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x+5+5\cos 2x\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 2x+\displaystyle\frac{\,4\cos 2x+6\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 2x+2\cos 2x+3\end{eqnarray}\)
ここで、\(2\sin 2x+2\cos 2x\) を合成すると、
\(r=2\sqrt{\,2\,}~,~\alpha=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2\sin 2x+2\cos 2x+3
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+3\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}x\lt 2\pi\) より、\(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0 {\, \small \times \,} 2&{\small ~≦~}&x {\, \small \times \,} 2\lt 2\pi {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&2x\lt 4\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt 4\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の範囲から \(y\) の範囲を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&{\small ~≦~}&\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}2\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+3{\small ~≦~}3+2\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}3+2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}2\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)+3{\small ~≦~}3+2\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}3+2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=3+2\sqrt{\,2\,}\) のとき最大値で
\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=1\) であるので、
単位円上の \(y=1\) との交点は、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(4\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲で2つある。
\(\begin{eqnarray}~~~2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(y=3-2\sqrt{\,2\,}\) のとき最小値で
\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=-1\) であるので、
単位円上の \(y=-1\) との交点は、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(4\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲で2つある。
\(\begin{eqnarray}~~~2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi\) のとき最大値 \(3+2\sqrt{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\) のとき最小値 \(3-2\sqrt{\,2\,}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の関数の最大値と最小値、およびそのときの \(x\) の値を求めよ。
\(y=\sin x\cos x-\sin^2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\pi)\)
\(y=\sin x\cos x-\sin^2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\pi)\)
数研出版｜高等学校数学Ⅱ[710] p.151 章末問題B 12
\(\sin 2x\) の2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2x&=&2\sin x\cos x
\\[5pt]~~~\sin x\cos x&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\cos 2x\) の2倍角の半角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&1-2\sin^2x
\\[5pt]~~~2\sin^2x&=&1-\cos 2x
\\[5pt]~~~\sin^2x&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
これより、\(y\) に \({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x\cos x-\sin^2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x-1+\cos 2x+1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x+\cos 2x\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos 2x\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,1-\cos 2x\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x-1+\cos 2x+1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x+\cos 2x\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos 2x\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos 2x\) を合成すると、
\(r=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}~,~\alpha=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\cos 2x
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\pi\) より、\(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0 {\, \small \times \,} 2&{\small ~≦~}&x {\, \small \times \,} 2{\small ~≦~}\pi {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&2x{\small ~≦~}2\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&{\small ~≦~}&2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}{\small ~≦~}2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) の範囲から \(y\) の範囲を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&{\small ~≦~}&\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}1
\\[5pt]~~~-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}&{\small ~≦~}&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}&{\small ~≦~}&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right){\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最大値で
\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=1\) であるので、
単位円上の \(y=1\) との交点は、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲で1つある。
\(\begin{eqnarray}~~~2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)
\(y=-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最小値で
\(\sin\left(2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)=-1\) であるので、
単位円上の \(y=-1\) との交点は、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) から \(2\pi+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) の範囲で1つある。
\(\begin{eqnarray}~~~2x+\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~2x&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) のとき最大値 \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi\) のとき最小値 \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) であるとき、関数 \(y=\sin x\cos x+2\cos^2x\) の最大値と最小値を求めよ。
数研出版｜新編数学Ⅱ[711] p.147 章末問題 12
\(\sin 2x\) の2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2x&=&2\sin x\cos x
\\[5pt]~~~\sin x\cos x&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\cos 2x\) の2倍角の半角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2x&=&2\cos^2x-1
\\[5pt]~~~2\cos^2x-1&=&\cos 2x
\\[5pt]~~~2\cos^2x&=&1+\cos 2x~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
これより、\(y\) に \({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin x\cos x+2\cos^2x
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x\,}{\,2\,}+1+\cos 2x
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\cos 2x+1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sin 2x\,}{\,2\,}+1+\cos 2x
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\cos 2x+1\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\cos 2x\) を合成すると、
\(r=\sqrt{\,\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+1^2\,}=\sqrt{\,\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\,}=\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}\)
\(\alpha\) を \(0\lt \alpha\lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) の角として、
\(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}~,~\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sin 2x+\cos 2x+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,}\sin(2x+\alpha)+1\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) より、\(2x+\alpha\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0 {\, \small \times \,} 2&{\small ~≦~}&x {\, \small \times \,} 2{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,} {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&2x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\alpha&{\small ~≦~}&2x+\alpha{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\alpha\end{eqnarray}\)
ここで、\(0\lt\alpha\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) であるから、\(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) はこの範囲に含まれるので、
\(\sin(2x+\alpha)\) は \(2x+\alpha=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき最大値 \(1\) をとる。
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,} \cdot 1+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,5\,}+2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、端点での \(\sin(2x+\alpha)\) の値を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\alpha&=&\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}
\\[5pt]~~~\sin\left(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\alpha\right)&=&\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\lt\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}\) より、\(2x+\alpha=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}+\alpha\) すなわち \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) のとき最小値をとる。
このとき、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,5\,}\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、最大値 \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{\,5\,}+2\,}{\,2\,}\)、最小値 \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04次の関数の最大値と最小値を求めよ。
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき、
\(y=\cos^2\theta-4\cos\theta\sin\theta-3\sin^2\theta\)
\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき、
\(y=\cos^2\theta-4\cos\theta\sin\theta-3\sin^2\theta\)
東京書籍｜Advanced数学Ⅱ[701] p.155 練習問題B 10(2)
\(\sin 2\theta\) の2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2\theta&=&2\sin\theta\cos\theta
\\[5pt]~~~2\cos\theta\sin\theta&=&\sin 2\theta~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\cos 2\theta\) の2倍角の半角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2\theta&=&1-2\sin^2\theta
\\[5pt]~~~2\sin^2\theta&=&1-\cos 2\theta
\\[5pt]~~~\sin^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2\theta\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2\theta&=&2\cos^2\theta-1
\\[5pt]~~~2\cos^2\theta-1&=&\cos 2\theta
\\[5pt]~~~2\cos^2\theta&=&1+\cos 2\theta
\\[5pt]~~~\cos^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、\(y\) に \({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\cos^2\theta-4\cos\theta\sin\theta-3\sin^2\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta\,}{\,2\,}-2\sin 2\theta-\displaystyle\frac{\,3(1-\cos 2\theta)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 2\theta+\displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta-3+3\cos 2\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 2\theta+\displaystyle\frac{\,4\cos 2\theta-2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 2\theta+2\cos 2\theta-1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta\,}{\,2\,}-2\sin 2\theta-\displaystyle\frac{\,3(1-\cos 2\theta)\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 2\theta+\displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta-3+3\cos 2\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 2\theta+\displaystyle\frac{\,4\cos 2\theta-2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 2\theta+2\cos 2\theta-1\end{eqnarray}\)
ここで、\(-2\sin 2\theta+2\cos 2\theta\) を合成すると、
\(r=2\sqrt{\,2\,}~,~\alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2\sin 2\theta+2\cos 2\theta-1
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)-1\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) より、\(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0 {\, \small \times \,} 2&{\small ~≦~}&\theta {\, \small \times \,} 2{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,} {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&2\theta{\small ~≦~}\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi&{\small ~≦~}&2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
これより、\(\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)\) の範囲から \(y\) の範囲を求めると、
単位円上で \(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) から \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi\) の範囲を考えると、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-1\) 、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\) をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~-1&{\small ~≦~}&\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right){\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right){\small ~≦~}2\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}-1&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)-1{\small ~≦~}2-1
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}-1&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}1\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right){\small ~≦~}2\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}-1&{\small ~≦~}&2\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)-1{\small ~≦~}2-1
\\[5pt]~~~-2\sqrt{\,2\,}-1&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}1\end{eqnarray}\)
したがって、最大値 \(1\)、最小値 \(-2\sqrt{\,2\,}-1\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) のとき、関数 \(y=2\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+4\cos^2\theta\) について、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \(y\) を \(\sin 2\theta\) 、\(\cos 2\theta\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(y\) の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの \(\theta\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(y\) を \(\sin 2\theta\) 、\(\cos 2\theta\) の式で表せ。
\({\small (2)}~\) \(y\) の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの \(\theta\) の値を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ⅱ[702] p.157 Level Up 14
\({\small (1)}~\)
\(\sin 2\theta\) の2倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 2\theta&=&2\sin\theta\cos\theta
\\[5pt]~~~2\sin\theta\cos\theta&=&\sin 2\theta~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\cos 2\theta\) の2倍角の半角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2\theta&=&1-2\sin^2\theta
\\[5pt]~~~2\sin^2\theta&=&1-\cos 2\theta
\\[5pt]~~~\sin^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1-\cos 2\theta\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 2\theta&=&2\cos^2\theta-1
\\[5pt]~~~2\cos^2\theta-1&=&\cos 2\theta
\\[5pt]~~~2\cos^2\theta&=&1+\cos 2\theta
\\[5pt]~~~\cos^2\theta&=&\displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta\,}{\,2\,}~~~\hspace{15pt}\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、\(y\) に \({\small [\,1\,]}\) 〜 \({\small [\,3\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+4\cos^2\theta
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle\frac{\,1-\cos 2\theta\,}{\,2\,}-\sin 2\theta+4 \cdot \displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1-\cos 2\theta-\sin 2\theta+2+2\cos 2\theta
\\[5pt]~~~&=&-\sin 2\theta+\cos 2\theta+3\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle\frac{\,1-\cos 2\theta\,}{\,2\,}-\sin 2\theta+4 \cdot \displaystyle\frac{\,1+\cos 2\theta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1-\cos 2\theta-\sin 2\theta+2+2\cos 2\theta
\\[5pt]~~~&=&-\sin 2\theta+\cos 2\theta+3\end{eqnarray}\)
したがって、\(y=-\sin 2\theta+\cos 2\theta+3\)
\({\small (2)}~\)
\(-\sin 2\theta+\cos 2\theta\) を合成すると、
\(r=\sqrt{\,2\,}~,~\alpha=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\sin 2\theta+\cos 2\theta+3
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)+3\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\) より、\(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) の範囲は、
\(\begin{eqnarray}~~~0 {\, \small \times \,} 2&{\small ~≦~}&\theta {\, \small \times \,} 2\lt 2\pi {\, \small \times \,} 2
\\[5pt]~~~0&{\small ~≦~}&2\theta\lt 4\pi
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi&{\small ~≦~}&2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\lt 4\pi+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\end{eqnarray}\)
これより、\(\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)\) の範囲から \(y\) の範囲を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~-1&{\small ~≦~}&\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right){\small ~≦~}1
\\[5pt]~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right){\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)+3{\small ~≦~}3+\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}3+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right){\small ~≦~}\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)+3{\small ~≦~}3+\sqrt{\,2\,}
\\[5pt]~~~3-\sqrt{\,2\,}&{\small ~≦~}&y{\small ~≦~}3+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y=3+\sqrt{\,2\,}\) のとき最大値で
\(\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)=1\) であるので、
単位円上の \(y=1\) との交点は、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) から \(4\pi+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) の範囲で2つあり、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) は範囲外で含まない。
\(\begin{eqnarray}~~~2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2\theta&=&\displaystyle\frac{\,5\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,9\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~2\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,15\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,7\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,15\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
\(y=3-\sqrt{\,2\,}\) のとき最小値で
\(\sin\left(2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)=-1\) であるので、
単位円上の \(y=-1\) との交点は、\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) から \(4\pi+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) の範囲で2つある。
\(\begin{eqnarray}~~~2\theta+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi
\\[5pt]~~~2\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~2\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,4\,}\pi
\\[5pt]~~~\theta&=&\displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\theta=\displaystyle\frac{\,7\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,15\,}{\,8\,}\pi\) のとき最大値 \(3+\sqrt{\,2\,}\)
\(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,8\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,8\,}\pi\) のとき最小値 \(3-\sqrt{\,2\,}\)
