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問題｜三角関数の積を和・差にする公式
三角関数 51☆\(\sin 3\theta \cos \theta~,~\)\(\sin 4\theta \sin 2\theta~,~\)\(\cos 3\theta \cos 2\theta\) を2つの三角関数の和または差に式変形する方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数の積を和・差にする公式
Point：三角関数の積を和・差にする公式
\(\sin\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(\alpha+\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\\[3pt]~~~\sin(\alpha-\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\end{eqnarray}\)
この2式の和と差より、
\(\begin{eqnarray}\sin \alpha \cos \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\cos \alpha \sin \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(\alpha+\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta
\\[3pt]~~~\cos(\alpha-\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\end{eqnarray}\)
この2式の和と差より、
\(\begin{eqnarray}\cos \alpha \cos \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\sin \alpha \sin \beta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
積と和についての公式は、
\(\sin\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(\alpha+\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\\[3pt]~~~\sin(\alpha-\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\end{eqnarray}\)
この2式の和と差より、
\(\begin{eqnarray}\sin \alpha \cos \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\cos \alpha \sin \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\cos\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(\alpha+\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta
\\[3pt]~~~\cos(\alpha-\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\end{eqnarray}\)
この2式の和と差より、
\(\begin{eqnarray}\cos \alpha \cos \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\sin \alpha \sin \beta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜三角関数の積を和・差にする公式
三角関数 51☆
\(\sin 3\theta \cos \theta~,~\)\(\sin 4\theta \sin 2\theta~,~\)\(\cos 3\theta \cos 2\theta\) を2つの三角関数の和または差に式変形する方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
\(3\theta\) と \(\theta\) を \(\sin\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(3\theta+\theta)&=&\sin 3\theta \cos \theta+\cos 3\theta \sin \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt]~~~\sin(3\theta-\theta)&=&\sin 3\theta \cos \theta-\cos 3\theta \sin \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~\sin(3\theta-\theta)&=&\sin 3\theta \cos \theta-\cos 3\theta \sin \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin 4\theta+\sin 2\theta&=&2\sin 3\theta \cos \theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\sin 3\theta \cos \theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\sin 4\theta+\sin 2\theta)\)
\(4\theta\) と \(2\theta\) を \(\cos\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(4\theta+2\theta)&=&\cos 4\theta \cos 2\theta-\sin 4\theta \sin 2\theta~~~\cdots {\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~\cos(4\theta-2\theta)&=&\cos 4\theta \cos 2\theta+\sin 4\theta \sin 2\theta~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~\cos(4\theta-2\theta)&=&\cos 4\theta \cos 2\theta+\sin 4\theta \sin 2\theta~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 6\theta-\cos 2\theta&=&-2\sin 4\theta \sin 2\theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\sin 4\theta \sin 2\theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos 6\theta-\cos 2\theta)\)
\(3\theta\) と \(2\theta\) を \(\cos\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(3\theta+2\theta)&=&\cos 3\theta \cos 2\theta-\sin 3\theta \sin 2\theta~~~\cdots {\small [\,5\,]}
\\[3pt]~~~\cos(3\theta-2\theta)&=&\cos 3\theta \cos 2\theta+\sin 3\theta \sin 2\theta~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~\cos(3\theta-2\theta)&=&\cos 3\theta \cos 2\theta+\sin 3\theta \sin 2\theta~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,5\,]}+{\small [\,6\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos 5\theta+\cos \theta&=&2\cos 3\theta \cos 2\theta\end{eqnarray}\)
よって、
\(\cos 3\theta \cos 2\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos 5\theta+\cos \theta)\)
