- 数学Ⅱ｜三角関数「積を和・差にする公式と三角関数の値」の基本例題解説ページです。
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問題｜積を和・差にする公式と三角関数の値
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
積を和・差にする公式と三角関数の値
三角関数の積を和・差にする公式は、
\(\sin\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}\sin \alpha \cos \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\cos \alpha \sin \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\cos\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}\cos \alpha \cos \beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\sin \alpha \sin \beta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜積を和・差にする公式と三角関数の値
積を和にする公式を用いた \(\sin 75^\circ \cos 45^\circ~,~\)\(\cos 75^\circ \cos 45^\circ~,~\)\(\sin 75^\circ \sin 45^\circ\) の値の求め方は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
積を和にする公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 75^\circ \cos 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\sin(75^\circ+45^\circ)+\sin(75^\circ-45^\circ)\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\sin 120^\circ+\sin 30^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}+1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
積を和にする公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 75^\circ \cos 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(75^\circ+45^\circ)+\cos(75^\circ-45^\circ)\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos 120^\circ+\cos 30^\circ)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}-1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
積を和にする公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 75^\circ \sin 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{\cos(75^\circ+45^\circ)-\cos(75^\circ-45^\circ)\}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos 120^\circ-\cos 30^\circ)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{3}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
