- 数学Ⅱ｜三角関数「三角関数の和・差を積にする公式」の基本例題解説ページです。
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問題｜三角関数の和・差を積にする公式
三角関数 53☆\(\sin 4\theta-\sin 2\theta~,~\)\(\cos 3\theta+\cos \theta\) を2つの三角関数の積に式変形する方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
解法のPoint
三角関数の和・差を積にする公式
Point：三角関数の和・差を積にする公式
\(\alpha+\beta={\rm A}~,~\)\(\alpha-\beta={\rm B}\) とおくと、
\(\alpha=\displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,}~,~\)\(\beta=\displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\) より、
三角関数の和・差を積にする公式は、
\(\sin {\rm A}+\sin {\rm B}=2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\sin {\rm A}-\sin {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}+\cos {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}-\cos {\rm B}=-2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
積と和・差にする公式より、
\(\sin \alpha \cos \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta) \}\)
\(\cos \alpha \sin \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \}\)
\(\cos \alpha \cos \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta) \}\)
\(\sin \alpha \sin \beta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta) \}\)
\(\cos \alpha \sin \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \}\)
\(\cos \alpha \cos \beta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta) \}\)
\(\sin \alpha \sin \beta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \{ \cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta) \}\)
\(\alpha+\beta={\rm A}~,~\)\(\alpha-\beta={\rm B}\) とおくと、
\(\alpha=\displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,}~,~\)\(\beta=\displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\) より、
三角関数の和・差を積にする公式は、
\(\sin {\rm A}+\sin {\rm B}=2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\sin {\rm A}-\sin {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}+\cos {\rm B}=2 \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
\(\cos {\rm A}-\cos {\rm B}=-2 \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}+{\rm B}\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,{\rm A}-{\rm B}\,}{\,2\,}\)
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詳しい解説｜三角関数の和・差を積にする公式
三角関数 53☆
\(\sin 4\theta-\sin 2\theta~,~\)\(\cos 3\theta+\cos \theta\) を2つの三角関数の積に式変形する方法は？
高校数学Ⅱ｜三角関数
和が \(4\theta\) 、差が \(2\theta\) となる \(\alpha~,~\beta\) は、
\(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}
\alpha+\beta=4\theta \\
\alpha-\beta=2\theta
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(\alpha=3\theta~,~\)\(\beta=\theta\)
よって、\(\sin \alpha\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin (3\theta+\theta) &=& \sin 3\theta \cos \theta+\cos 3\theta \sin \theta \\[3pt]~~~\sin (3\theta-\theta) &=& \sin 3\theta \cos \theta-\cos 3\theta \sin \theta\end{eqnarray}\)
この2式の差より、
\(\sin 4\theta-\sin 2\theta=2 \cos 3\theta \sin \theta\)
和が \(3\theta\) 、差が \(\theta\) となる \(\alpha~,~\beta\) は
\(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}
\alpha+\beta=3\theta \\
\alpha-\beta=\theta
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
これより、\(\alpha=2\theta~,~\)\(\beta=\theta\)
よって、\(\cos \alpha\) の加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos (2\theta+\theta) &=& \cos 2\theta \cos \theta-\sin 2\theta \sin \theta \\[3pt]~~~\cos (2\theta-\theta) &=& \cos 2\theta \cos \theta+\sin 2\theta \sin \theta\end{eqnarray}\)
この2式の和より、
\(\cos 3\theta+\cos \theta=2 \cos 2\theta \cos \theta\)
