和・差を積にする公式と三角関数の値

和を積にする公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 105^\circ+\sin 15^\circ
\\[5pt]~~~&=&2\sin \displaystyle \frac{\,105^\circ+15^\circ\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,105^\circ-15^\circ\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin \displaystyle \frac{\,120^\circ\,}{\,2\,} \cos \displaystyle \frac{\,90^\circ\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sin 60^\circ \cdot \cos 45^\circ
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} {\, \small \times \,} \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

 
 

差を積にする公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 75^\circ-\cos 15^\circ
\\[5pt]~~~&=&-2\sin \displaystyle \frac{\,75^\circ+15^\circ\,}{\,2\,} \sin \displaystyle \frac{\,75^\circ-15^\circ\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin \displaystyle \frac{\,90^\circ\,}{\,2\,} \cdot \sin \displaystyle \frac{\,60^\circ\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-2\sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ
\\[5pt]~~~&=&-2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)